Komplexe Zahlen: Imaginärteil, Realteil und Polarform

Question

Die Aufgabe lautet, dass ich den Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen angeben soll und zusätzlich die Polarform angeben soll. Bei einer bin ich mir jedoch nicht sicher wie ich vorgehen soll:

$$z=\frac{3i}{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}$$

Über Hilfe wäre ich dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Um eine komplexe Zahl im Nenner in eine reelle Zahl "umzuwandeln" gibt es einen Standard-Trick, nämlich das Erweitern mit dem komplex konjugierten Nenner. Das Ziel ist es, im Nenner die dritte binomischen Formel anwenden zu können:$$z=\frac{3i}{\sqrt2+i\sqrt2}=\frac{3i\cdot(\sqrt2-i\sqrt2)}{(\sqrt2+i\sqrt2)\cdot(\sqrt2-i\sqrt2)}=\frac{3\sqrt2\,i\cdot(1-i)}{(\,\sqrt2\,)^2-(\,i\sqrt2\,)^2}=\frac{3\sqrt2\cdot(i-i^2)}{2-i^2\cdot2}$$

Wegen \(i^2=-1\) ist der Nenner nun eine reelle Zahl:$$z=\frac{3\sqrt2(i-(-1))}{2-(-1)\cdot2}=\frac{3\sqrt2(i+1)}{4}=\frac{3\sqrt2}{4}+i\cdot\frac{3\sqrt2}{4}$$

Answer 2

Erweitere mit √2 - i √2. Das gibt  0,75*√2  + 0,75*i √2

Answer 3

Hallo,

Um die Aufgabe zu beantworten:

Comments

Hallo Grosserloewe,

deine Betragsermittlung ist relativ aufwändig, sie kann ohne vorherige Umformung auch mit \( \frac{|3i|}{|\sqrt{2}+i\sqrt{2}|} \) erfolgen und liefert 3/2 mindestens genau so schnell.

(Die Wahl des Weges ist aber insofern verständlich, dass du die Umformung auch noch für den Winkel nützlich anwenden kannst.)

φ=π/4 erscheint mit dem vorgestellten Lösungsweg als Glückstreffer, da aus tan φ=1 auch φ=5π/4 folgen kann.

Answer 4

Text erkannt:

\( z=\frac{3 i}{\sqrt{2}+i \cdot \sqrt{2}}=\frac{3 i \cdot(\sqrt{2}-i \cdot \sqrt{2})}{(\sqrt{2}+i \cdot \sqrt{2})(\sqrt{2}-i \cdot \sqrt{2})}=\frac{3 i \cdot(\sqrt{2}-i \cdot \sqrt{2})}{2+2}=\frac{3 i \sqrt{2}+3 \sqrt{2}}{4}=\frac{3}{4} \cdot i \sqrt{2}+\frac{3}{4} \sqrt{2} \)