A besitze keine Eigenwerte. Dann ist A ähnlich zu

Question

Sei A\(\in M_2(\mathbb{R})\). Nehmen wir an dass A keine Eigenwerte besitzt, dann ist A ähnlich zu einer Matrix mit der Form

\( \left(\begin{array}{cc}{x} & {-y} \\ {y} & {x}\end{array}\right) \)

Comments

Sollst du das beweisen?

Dann rechne formal mal die Eigenwerte von ((x, -y),(y,x)) und von ((a,b),(c,d)) aus. Vergleiche die vorkommenden Terme.

Besser noch: Lies erst mal die Diskussion hier durch. https://www.mathelounge.de/215323/wie-weiss-man-ob-2-matrizen-ahnlich-sind

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Ja ich muss es beweisen. Was bringt mir das mit den Eigenwerten, wenn A gar keine Eigenwerte hat?

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Was meinst Du mit "A hat keine Eigenwerte". Die charakteristische Gleichung \( \det(A-\lambda E) = 0 \)  hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra immer Lösungen in  \( \lambda \in \mathbb{C} \)

So wie es da steht ist die Aufgabenstellungen unsinnig.

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Nein es stimmt schon dass es Eigenwerte hat in \(\mathbb{C}\) aber die Matrizen sind über dem Körper der reellen Zahlen

Answer 1

Meinst Du, es gibt keine reellen Eigenwerte? Die Aussage das die Matrizen nur reelle Elemente enthalten, sagt nicht darüber aus ob die Eigenwerte reell oder komplex sind.

Comments

Ja genau das ist gemeint. Ich sehe aber nicht, wie es möglich ist, dass eine Matrix mit reellen Zahlen plötzlich komplexe Eigenwerte haben kann.

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Man kann jede Matrix über den reellen Zahlen als Matrix über den komplexen Zahlen auffassen über die übliche Einbettung/Inklusion der reellen Zahlen in die komplexen.

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Hast du mir ein Beispiel wo dann die Eigenwerte komplex sind?

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Nehme mal die Matrix $$ \begin{pmatrix}  1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ und berechne dafür die Eigenwerte, dann wirst Du komplexe Eigenwerte bekommen.

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aha jetzt sehe ich es danke dir. :) Hast du mir den Ansatz wie ich jetzt zeige, dass alle diese Matrizen ähnlich sind zur oberen Matrix?

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Hi,

irgenwas stimmt in der Aufgabenstellung nicht. Nimm z.B. die Matrix

$$ A = \begin{pmatrix}  1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$ diese hat die Eigenwerte \( \lambda_1=1+i \) und \( \lambda_2 = \overline{\lambda_1} =1-i\) und die Eigenvektoren

\( v_1 = \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( v_2 = \overline{v_1} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \)

Für die Matrix $$  T = \begin{pmatrix}  -i & i \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ gilt

$$ T^{-1}AT=  \begin{pmatrix}  \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} $$

D.h. \( A \) ist zu einer Diagonalmatrix ähnlich die nicht die angegebene Form hat, weil ja \( A \) keine reellen Eigenwerte hat. Damit ist der komplexe und konjugiert komplexe Eigenwert unterschiedlich (ansonsten wäre er reell, was ja ausgeschlossen wurde).

Stehen in der Aufgabe noch andere Voraussetzungen die Du nicht aufgeschrieben hast?

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Es wurde noch kommuniziert dass x und y  aus den reellen Zahlen sind.

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@ullim: Deine Matrix ist bereits von der behaupteten Form. Da sie auch aehnlich zu sich selbst ist, ist gar nichts mehr zu zeigen. Das ist kein Gegenbeispiel. Dass sie ueber \(\mathbb{C}\) diagonalisierbar ist, tut der Aufgabe auch keinen Abbruch.

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Wie zeige ich es aber allgemein?

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Idee: Zwei 2x2-Matrizen sind genau dann aehnlich, wenn sie dasselbe Minimalpolynom haben. Eine 2x2-Matrix ohne reelle Eigenwerte hat ein ueber \(\mathbb{R}\) irreduzibles charakteristisches Polynom zweiten Grades, das damit auch schon das Minimalpolynom ist.

Zeige also, dass die Matrizen in der Form der Aufgabe alle moeglichen irreduziblen quadratischen Polynome als charakteristisches Polynom erzeugen koennen.

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Wenn \( A \) keine reellen Eigenwerte hat sondern nur komplexe Eigenwerte \( \lambda \), dann ist mit \( \lambda \in \mathbb{C} \) auch \( \overline{\lambda} \in \mathbb{C} \) ein Eigenwert und es ist \( \Im(\lambda) \ne 0 \). Damit ist das Minimalpolynom von \( A \)
$$ M_A(x) =x^2 - 2 \cdot \Re(\lambda) \cdot x +|\lambda|^2  $$
Für die Matrix \( T = \begin{pmatrix}  u & -v \\ v & u \end{pmatrix} \) sind die Eigenwerte
$$ \mu_{1,2} = u\pm iv  $$ Wenn \( v \ne 0 \) ist, ist das Minimalpolynom $$ M_T(x) = x^2-2ux+u^2+v^2  $$
D.h. wenn man \( u = \Re(\lambda) \) und \( v = \Im(\lambda) \) setzt gilt $$ M_A(x) = M_T(x) $$ und damit sind die Matrizen \( A \) und \( T \) ähnlich.