Frage zum Beweis, dass die Eigenwerte eine Ähnlichkeitsinvariante sind

Question

Hallo an alle :)

Den vollständigen Beweis habe ich (glaube ich) korrekt vor mir liegen, aber es will mir einfach nicht einfallen, wieso man eine Bestimmte Umformung macht:

Der Beweis lautet wie folgt:

Man hat 2 Matrizen A und B, und sie sollen zueinander ähnlich sein.

Dann gibt es ein sodass gilt: $$ B = S^{-1}AS \ mit \ S \in GL_n$$

Zusätzlich gilt laut Definition, dass das Charakteristische Polynom von A so aussieht:

$$ CP_A(\lambda ) = det(A-\lambda I_n) $$

Man will nun zeigen, dass das Charakteristische Polynom von B und das von A gleich sind und somit auch die Eigenwerte der beiden:

Dafür bildet man zuerst das Charakteristische Polynom von B und ersetzt das B dann durch die Darstellung mit A und der invertierbare Ähnlichkeitsmatrix und formt dann um. Vollständig sieht es so aus:

$$ CP_B(\lambda ) = det(B-\lambda I_n) = det((S^{-1}AS)-\lambda I_n) = det(S^{-1}(A-\lambda I_n) S) = det(S^{-1})*det(A-\lambda I_n)*det(S) = det(A-\lambda I_n) $$

Meine Verwirrung entsteht durch diese Umformung: $$ det((S^{-1}AS)-\lambda I_n) = det(S^{-1}(A-\lambda I_n) S) $$

Gibt es vielleicht eine Rechenregel, die ich übersehen habe?

Das die Umformung stimmen muss kann man relativ einfach so nachrechnen:

$$ det(S^{-1}(A-\lambda I_n) S) = det(S^{-1}AS - S^{-1}\lambda I_n S) = det(B - \lambda S^{-1}S I_n) = det(B - \lambda I_n) $$ Es entsteht wieder das Charakteristische Polynom von B....

Hat vielleicht jemand eine Idee?

Answer 1

Du hast doch selber den Beweis hingeschrieben. Was willst Du mehr?

Comments

Hallo ullim,

wenn du dir die Frage ganz durchliest, wird klar, dass nicht der Beweis an sich die Frage war, sondern eine bestimmte Umformung, die darin gemacht wird.

Die ist mir allerdings klar geworden.

Es fehlte nämlich ein Zwischenschritt, mit dem man die Umformung verstehen kann.

$$ det((S^{-1}AS)−λI_n)=det(S^{-1}(A−λI_n)S) $$ kann man umformen in:

$$ det((S^{-1}AS)−λI_n)=det((S^{-1}AS)−λI_nS^{-1}S)=det((S^{-1}AS)−S^{-1}λI_nS)=det(S^{-1}(A−λI_n)S) $$

Der Trick war es einfach mit $$ S^{-1}S $$ zu erweitern.

Answer 2

  Geheimtipp;  du bist auf dem falschen Dampfer. Dass zwei Matrizen die selbe Säkulardeterminante haben und damit die selben Eigenwerte,   macht sie noch  lange nicht ähnlich.   Sei  S  deine Basistransformationsmatrix.      Wenn  A  den Vektor x abbildet auf y = A x ;  welche Matrix bildet dann   S  x ab auf S y ?

        y  =  A  x    |     S  *       (  1  )

     Anmerkung:  " Stern rechts "  bedeutet Multiplikation von  Links.

   S  y  =  S  A  x  =  (  S  A  S ^ -  1  )    S  x      (  2a  )

    D.h.  die Matrix

    A  '  =   S  A  S ^ -  1        (  2b  )

    bildet  S  x  ab auf  S  y  ; entspricht  also  dem  A  in der neuen  Basis.   In ( 2a ) magst du sofort nachrechnen: Wenn x Eigenektor von  A zum eigenwert  E , so ist  S x  Eigenvektor zu  A  '  zum selben Eigenwert.  Und das ist das, worauf du eigentlich hinaus wolltest.

Comments

  Also gut

     det  [  S  (  A  -  µ  *  1|  )  S  ^ -  1 ]  =   (  Determinanten-Multiplikationssatz  )         (  1  )

    =  det  (  S  )  det  (  A  -  µ  *  1|  )   /  det  (  S  )    =   (  2  )

  =  det  (  A  -  µ  *  1|  )       (  3  )

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Hallo habakuktibatong,

:o was genau meinst du mit auf dem falschen Dampfer?

Eigentlich hätte ich gedacht, dass man mit dem obigen Beweis zeigen kann, dass die Eigenwerte eine Ähnlichkeitsinvariante bilden.

Ich würde den Beweis benutzen, wenn gefragt wird, dass ich zeigen soll, dass die Eigenwerte eine Ähnlichkeitsinvariante ist. Die Eigenwerte sind ja die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms und damit haben zwei Matrizen, die das gleiche Charakteristische Polynom haben auch die gleichen Eigenwerte habe ich mir gedacht.

Deinen Beweis habe ich auch schon gesehen, aber leider nicht zu 100% verstanden, sodass ich lieber die oben beschriebene Variante vorstellen würde.

Und es gilt nicht, dass zwei Matrizen, die die gleichen Eigenwerte besitzen auch das gleiche Charakteristische Polynom bilden (man kennt die algebraischen Vielfachheiten ja nicht..)

$$ Also \ "EW \ von \ A = EW \ von \ B" \Leftarrow CP_A = CP_B $$

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  Ich habe gesagt,  dass zwei  Matrizen, die die selbe Säkulardeterminante   (  SD  )  haben  -  selbe Eigenwerte mit selber Vielfachheit  -  noch lange nicht ähnlich sind.

    Aber bitte schön.  Hast du dich jemals beschäftigt mit  ===>    Elementarteilern  (  ET  )  ?  Du hast nämlich  genau den selben Ansatz wie in der Algebra.  Die wirklich fruchtbare, wesentliche Aussage über eine Matrix   ist nämlich nicht ihre  SD ,  sondern  ihr  Minimalpolynom.  Die durch das Minimalpolynom generierte ET Zerlegung ist direkt.

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Nein, ich kann mich nicht erinnern schonmal was von Elementarteilern gelesen zu haben. Vielleicht kommt das dann in der folgenden lineare Algebra 2 Vorlesung. Von dem Minimalpolynom habe ich schon gehört und ich weiß unter anderem das es das charakteristische Polynom teilt, aber wie man es verwendet/ausrechnen kommt auch erst in der folgenden Vorlesung.

Eine Frage: kann du ein kleines Beispiel geben, von 2 Matrizen die die gleiche säkulardeterminante (den Begriff habe ich gerade eben erst das erste Mal gelesen, aber es ist klar 2as es bedeutet. (Kommt wahrscheinlich von der säkulargleichung)) haben, aber nicht ähnlich sind?

Und ich bin ein wenig verwirrt. Ich glaube nicht das ich geschrieben habe das ich beweisen will, dass wenn 2 Matrizen die selben eigenwerte haben die Matrizen ähnlich sind, sondern eher anders herum, dass 2 Matrizen die ähnlich sind die gleichen Eigenwerte haben und damit die Eigenwerte eine Ähnlichkeitsinvariante sind :) oder habe ich etwas falsch verstanden und ich habe einen riesen Gedanken fehler?

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  In deinem ersten Kommentar schreibst du

  <<   Und es gilt nicht, dass zwei Matrizen,

   <<  die die gleichen Eigenwerte besitzen,

    <<    auch das gleiche Charakteristische Polynom bilden

     <<  (man kennt die algebraischen Vielfachheiten ja nicht..)

        Und an der Stelle hatte ich eingehakt  und gesagt, identische  SD, also gleiche Eigenwerte, gleiche Vielfachheit,     bedeutet noch lange nicht, dass die beiden Matrizen ähnlich sind.
  In der Tat hast du Recht.  Astronomie   war mein erstes Hobby -  mit     Sechs schon ein Jahr vor der Einschulung.  Natürlich  wollte ich  Astronaut werden.  Aber ich schlug eben nicht den Weg der Mehrheit ein; ich trachtete nicht danach,   "  Kommandant einer intergalaktischen Raumflotte "  zu weden. Sondern mein Fragen zielte weit stärker in die Richtung: Welche wirklichen Planeten und Sterne gibt es?

    Später dann im Studium erfuhr  ich, dass Eigenwerte eine Erfindung der Himmelsmechaniker sind, um  ihre  Säkulargleichung störungsteoretisch zu lösen.  Das Wort kommt von  Latein  "  saeculum  "  ,  Jahrhundert,  also langfristige gegenseitige Störungen der Planeten, die sich im Laufe von Jahrhunderten, Jahrtausenden oder Jahrmillionen aufschaukeln.

   Die Eigenwerte sind ja Nullstellen der  "  Determinante der  Säkulargleichung "  , eben der  SD  .   Genau so tauften die Astronomen ihre Erfindung, bevor sie dann anders genannt wurde.

     In dem unveröffentlichten Nachlass von  ===>  Gottfried Wilhelm  Leibniz  fanden sich übrigens geniale Einsichten über Determinanten, ohne dass wir bis Heute so recht verstanden hätten, was eigentlich sich Leibniz unter einer Determinante vorstellte.  Ein Nämliches   lässt sich übrigens sagen von der japanischen  Matematik  des  17.  Jhs.

    Du erkundigst dich nach zwei  nicht ähnlichen  Matrizen, die trotzdem die selbe  SD  haben.    Setze

       A  :=  1|  =  Einheitsmatrix       (  2.1  )

     Du hast zwei Eigenvektoren zu  Eigenwert  Eins; und damit wird die  ( quadratische  )   SD

      p  (  x  ;  A  )  =  (  x  -  1  )  ²      (  2.2  )

    Und jetzt betrachte

                       1        1

       B  :=         0        1             (  2.3  )

      Folgender  Trick;   B  ist eine Dreiecksmatrix  -   die Einheitsmatrix ist es übrigens auch  ===>   (  B  -  µ  *  1|  )  ist  Dreiecksmatrix, deren  Determinante sich folglich als Produkt der Diagonalelemente ergibt;  und das ist  (  2.2  )

    Wäre die  Einheitsmatrix  ähnlich zu B ,  müsste es ein  S geben so dass

         B  =  S  *  1|  *  S  ^  -  1           (  2.4  )

     und das ist ganz sicher nicht der Fall;  die einheitsmatrix vertauscht mit jeder  Matrix und ist nur zu sich   selbst  ähnlich.