Lottogewinn Anlage. Entnahme maximieren.

Question

aufgrund der Lottogewinnfrage als Rentenzahlungsumwandlung hat sich mir folgende Frage gestellt.

Bei einem Lottogewinn von 1.000.000 Euro und einem Zinssatz von 5% p.a. bei Anlage entnehme ich jeweils Anfang des Jahres den x-ten Teil der Zinsen des Vorjahres. Für welches x ist die Summe aller Entnahmen nach 60 Jahren am größten. Steuern werden nicht betrachtet. Wieviel hat man noch zum Vererben, also quasi als Endkapital?

Kann das jemand so berechnen? Ich komme mit Hilfe von Excel auf einen Wert von x ungefähr gleich 1,6.

Wie sieht das x in Abhängigkeit vom Zinssatz aus?

Gruß

Comments

Ist die Summe nicht dann am größten, wenn das ganze Kapital nach 60 Jahren abgehoben worden ist?

Oder ich habe das nicht verstanden was du genau wolltest.

---

da sich durch den relativ hohen Zinssatz das Kapital erhöht, wenn ich weniger als die Zinsen des Vorjahres entnehme, erhöht sich ja auch die Entnahmesumme in jedem Jahr. Bei der langen Laufzeit macht sich das dann in der Gesamtsumme positiv bemerkbar.

Falls ich mich nicht verrechnet habe, kommt bei konstanter Entnahme bis auf 0 eine Gesamtsumme von ca. 3.018.000 Euro heraus. Nimmt man jeweils nur 5\8 der Vorjahreszinsen, also im ersten Jahr gar nichts, kommt man auf ca. 5,1 Mio, da man in den letzten Jahren dann auch Entnahmen in Höhe von 200.000 Euro zu verzeichnen hat. Es wäre natürlich auch bei Beachtung der Inflation wesentlich sinnvoller, wenn man am Anfang weniger entnimmt und dass dann entsprechend steigert. Auch bleibt so am Ende ein Kapital von ca. 7,5 Mio. übrig. 

Bei der Frage, die Vorlage war, kommt man auf ca. 50.312 Euro Entnahme pro Jahr. Diesen Wert übertreffe ich ab dem 23. Jahr mit der hier angedachten Methode.

Wie gesagt, ich bin mir nicht sicher, ob ich mich nicht doch verrechnet habe.

Gruß

---

ich habe zumindest herausgefunden, dass mein erstes Ergebnis falsch ist, da ich eine Formel nicht erneut komplett ausgefüllt hatte. Daher komme ich jetzt nicht mehr auf einen großen Unterschied , aber immer noch auf mehr, als wenn ich einfach bis auf den letzten Cent entnehme und es ist noch Kapital übrig.

Gesamtentnahme 3,2 Mio

Endkaptial 3,3 Mio

Entnahme 5/8 der Vorjahreszinsen.

Gruß

---

noch eine Sache.

Ja, Du hast recht, ich möchte die Entnahme maximieren, aber bei ähnlichen Summen, ist natürlich das höhere Endkapital nicht zu vernachlässigen.

Ich gehe davon aus man müsste eine Funktion mit mehreren Variablen haben, um zu bestimmen, in Abhängigkeit von Laufzeit und Zinssatz, wie ich die Entnahme maximiere und wann ein Punkt erreicht wird, wo es sich lohnt nicht konstant immer den gleichen Betrag zu entnehmen sondern einen in Relation zum Ertrag zu wählen, ohne dass man sagt, ich spare 59 Jahre und durch Riesenentnahem am Ende, habe ich den höchsten Ertrag. Die Differenz pro Jahr bei den unterschiedlichen Arten spielt ja auch eine Rolle, man will ja auch davon leben...

Gruß

Answer 1

Ich habe das auch mal mit Excel modelliert.

Da habe ich bei 57% Entnahme nach 60 Jahren

3,4 Mio entnommen und ein Restkapital von etwa 3,5 Mio.

Allgemeine Überlegung:

wenn ich als r den Anteil bezeichne, den ich von den Zinsen NICHT entnehme,

also ich nehme 1-r , bei deinem Beispiel wäre dann r=0,43, sieht das doch wohl so aus:

Anfangskapital 1 dann muss man nicht soviel 0en schreiben.

nach 1 Jahr bzw. zu Beginn des 2. Jahres, also nach Entnahme
1 + 0,05*r

nach 2 Jahren
 (1+0,05*r) +(1 + 0,05*r)*0,05*r
=1+0,05*r + 0,05*r+ (0,05*r)²
=1+2*0,05*r + (0,05*r)²

nach 3 Jahren
=1  +  2*0,05*r + (0,05*r)²  + (1+2*0,05*r + (0,05*r)² )*0,5*r
=1  +  2*0,05*r + (0,05*r)²  + 0,5r +2*(0,05*r)² + (0,05*r)³
= 1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)² + (0,05*r)³

nach 4 Jahren :
 1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)² + (0,05*r)³ + ( 1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)² + (0,05*r)³)*0,5*r
=  1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)²  + (0,05*r)³ +  0,5r  +3*(0,05*r)² + 3*(0,05*r)³ + (0,05*r)⁴
=  1  +  4*0,05*r + 6*(0,05*r)²  + 4(0,05*r)³  + (0,05*r)⁴
= ( 1 +0,05*r)⁴

Da wird man wohl per Induktion beweisen können:  nach i Jahren  (1+0,5*r) ⁱ  
Also ist die Entnahme im i-ten Jahr (1+0,05*r)ⁱ  * (1-r)*0,05

Also in den 60 Jahren

Summe i=0 bis 59 über (1+0,05*r)ⁱ  * (1-r)*0,05

= (1-r)*0,05 * Summe i=0 bis 59 über (1+0,05*r)ⁱ  

Das hintere ist eine geo. Reihe mit q= (1+0,05*r) also ist die

Summe der Entnahmen   E(r) =

(1-r)*0,05 *   ( q⁶⁰ - 1) / ( q - 1 ) 

=(1-r)*0,05 *   ( (1+0,05*r) ⁶⁰ - 1) / (  (1+0,05*r) - 1 ) 

= ( 1/r - 1 ) *  (1+0,05*r) ⁶⁰ - 1)

und E' (r) = (-1/r² ) * ( 1 +0,05r)⁶⁰ - 1) + ( 1/r - 1 ) * 3* (1+0,05*r) ⁵⁹ - 1)

Das gleich 0 gesetzt gibt eine Gleichung, die ich bei Wolframalpha

eingegeben habe und es gibt r=0,427459   Also den mit Excel

herausgefundenen Prozentsatz von etwa 53% Entnahme für den optimalen

Fall.

Habe das dann auch mal allgemein mit einem Zinssatz p versucht, da hat aber

auch wolframalpha abgeschnallt.

Comments

 

gut, dann habe ich am Ende doch richtig gerechnet. Du weißt aber nicht zufällig, wie man das als Extremwertaufgabe berechnen kann?

Gruß

---

wenn ich als r den Anteil bezeichne, den ich von den Zinsen NICHT entnehme,

also ich nehme 1-r , bei deinem Beispiel wäre dann r=0,43, sieht das doch wohl so aus:

Anfangskapital 1 dann muss man nicht soviel 0en schreiben.

nach 1 Jahr bzw. zu Beginn des 2. Jahres, also nach Entnahme
1 + 0,05*r

nach 2 Jahren
 (1+0,05*r) +(1 + 0,05*r)*0,05*r
=1+0,05*r + 0,05*r+ (0,05*r)^2
=1+2*0,05*r + (0,05*r)^2

nach 3 Jahren
=1  +  2*0,05*r + (0,05*r)^2  + (1+2*0,05*r + (0,05*r)^2 )*0,5*r
=1  +  2*0,05*r + (0,05*r)^2  + 0,5r +2*(0,05*r)^2 + (0,05*r)^3
= 1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)^2 + (0,05*r)^3

nach 4 Jahren :
 1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)^2 + (0,05*r)^3 + ( 1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)^2 + (0,05*r)^3)*0,5*r
=  1+3*0,05*r + 3*(0,05*r)^2  + (0,05*r)^3 +  0,5r  +3*(0,05*r)^2 + 3*(0,05*r)^3 + (0,05*r)^4
=  1  +  4*0,05*r + 6*(0,05*r)^2  + 4(0,05*r)^3  + (0,05*r)^4
= ( 1 +0,05*r)^4

Da wird man wohl per Induktion beweisen können:  nach i Jahren  (1+0,5*r) ⁱ  
Also ist die Entnahme im i-ten Jahr (1+0,05*r)ⁱ  * (1-r)*0,05

Also in den 60 Jahren

Summe i=0 bis 59 über (1+0,05*r)ⁱ  * (1-r)*0,05

= (1-r)*0,05 * Summe i=0 bis 59 über (1+0,05*r)ⁱ  

Das hintere ist eine geo. Reihe mit q= (1+0,05*r) also ist die

Summe der Entnahmen   E(r) =

(1-r)*0,05 *   ( q^60 - 1) / ( q - 1 ) 

=(1-r)*0,05 *   ( (1+0,05*r) ^60 - 1) / (  (1+0,05*r) - 1 ) 

= ( 1/r - 1 ) *  (1+0,05*r) ^60 - 1)

und E' (r) = (-1/r^2 ) * ( 1 +0,05r)^60 - 1) + ( 1/r - 1 ) * 3* (1+0,05*r) ^59 - 1)

Das gleich 0 gesetzt gibt eine Gleichung, die ich bei Wolframalpha

eingegeben habe und es gibt r=0,427459   Also den mit Excel

herausgefundenen Prozentsatz von etwa 53% Entnahme für den optimalen

Fall.

Habe das dann auch mal allgemein mit einem Zinssatz p versucht, da hat aber

auch wolframalpha abgeschnallt.

---

Hallo mathef,

wenn Du das jetzt noch als Antwort hinschreibst, dann kann ich das auch entsprechenden würdigen, denn das wollte ich wissen. :-)

Gruß

p.s. Stellt sich nur noch die Frage, falls man so einen Gewinn irgendwann einmal machen sollte, ab welcher Laufzeit bei welchem Zinssatz dieses Modell sinnvoller ist, als die Totalentnahme, aber genug geträumt.

---

Hab's meiner Antwort hinzugefügt.

---

ich Depp hatte die Antwort noch Der_Mathecoach zugeschrieben, da wir uns vorher den Kommentarbattle geliefert hatten. So hätte ich das auch einfach ohne Zusatz gemacht... Völlig verpeilt.

Gruß

---

OK, träumen wir mal vom Gewinn, leider spiel ich gar nicht.