Basisbestimmung bei Untervektorraum der Matrizen

Question

ich habe große Probleme eine Basis für den Untervektorraum zu bestimmen. Kann mir jemand erklären, wie man bei der Basisbestimmung von Matrizen allgemein vorgeht, bzw. wie diese Aufgabe gelöst wird?

Und wie lässt sich dann die Dimension des Untervektorraums bestimmen, was muss man beachten?

Vielen Dank für Hilfe  und liebe Grüße!

Answer 1

 

zuerst bestimmen wir alle Matrizen aus U₁  .

Seien x,y , z, w  ∈  K   ( | trennt Matrixzeilen)

[ x, y | z, w ] • [ 1, 1 | 0, 1 ]  =  [ 1, 1 | 0, 1 ] • [ x, y | z, w ]   

⇔  [ x , x + y | z , z + w ]   =  [ x + z , y + w |  z , w ]    → x = w und  z = 0 

U₁ = { A ∈ V |  A = [ x , y | 0 , x ]  mit x,y ∈ K }

Man sieht leicht:

 { [ 1 , 0 |  0 , 1 ] , [ 0 , 1 | 0 , 0 ] }

ist wegen

[ x , y | 0 , x ]  =  x · [ 1 , 0 |  0 , 1 ] + y · [ 0 , 1 | 0 , 0 ]

ein Erzeugendensystem von U₁

und wegen

  x · [ 1, 0 | 0, 1 ] + y · [ 0, 1 | 0, 0 ] = [ 0, 0 | 0, 0 ]  →  x,y = 0

linear unabhängig.

→   { [ 1 , 0 |  0 , 1 ] , [ 0 , 1 | 0 , 0 ] }  ist Basis von U₁ , dim(U₁) = 2

Gruß Wolfgang

Comments

Ich hätte nur nochmal eine Nachfrage:

Aus der Bedingung x = w und  z = 0  folgt für die Matrix doch eigentlich A = [ x , x+y | 0 , x ] , du lässt jedoch das ''x'' bei deiner Aufstellung weg bzgl. der Addition mit ''y'' weg, kannst du mir erklären warum ?

Vielen Dank für deine Erklärung

---

x+y =y+w   (w=x)   gilt für alle x,y ∈K , egal, wie man sie nennt

Answer 2

Bon soir,

sei \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in U_1.\)
Dann gilt \(A\cdot C=C\cdot A\), also\(\begin{pmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}\).
Es folgt \(c=0\) und \(a=d\), also \(A=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}\).
Damit ist \({\cal B}=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right\}\) eine Basis von \(U_1\) und \(\dim U_1=2\).