Bestimmen Sie Rang (A) in Abhängigkeit von α ∈ ℝ. (Unterraum, Basisbestimmung, Rang)

Question

Aufgabe:

Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & 0 \\ -1 & \alpha & -2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

a) Bestimmen Sie Rang \( (A) \) in Abhängigkeit von \( \alpha \in \mathbb{R} \).

b) Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) hat das lineare Gleichungssystem \( A \cdot x=0 \) nichttriviale Lösungen?

Answer 1

Aufgabe 2

Du solltest die Matrix auf Zeilenstufenform bringen

[1, 0, 1]
[-1, a, -2]
[a, 1, 0]

I + II, a*I - III

[1, 0, 1]
[0, -1, a]
[0, a, -1]

a*II + III

[1, 0, 1]
[0, -1, a]
[0, 0, a^2 - 1]

Damit ist der Rang = 3 für a^2 ≠ 1

Nichttriviale Lösungen finden wir für a = 1 und a = -1.