Bestimmtes Integral mit Wurzel zu lösen

Question

Hallo ich habe das Integral :

$$\int _{ 2 }^{ 4 }{ \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 64 } +\frac { 4 }{ { x }^{ 4 } }  }  } dx$$ zu lösen , jedoch weiß ich nicht wie man das angeht da substitution wohl eher nicht gehen wird .

Welche Vorgehensweise gibt es denn hier?

Comments

Hi, die binomische Formel hast du richtig angewendet. Allerdings kann man nun nicht so ohne weiteres die Wurzel mit dem Quadrat verrechnen, sondern muss Betragsstriche setzen und dann begründen, warum man die weglassen kann.

Answer 1

Bekommst du irgendwie eine binomische Formel hin unter der Wurzel? Bruchaddition ...

Dann könntest du die Wurzel ziehen.

Comments

Hallo Lu ,

meinst du vl so ∫√(x^2/8 +2/x^2)^2 ?

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Ja. Das dürfte so stimmen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2%2F8+%2B2%2Fx%5E2)%5E2

Da kannst du nun einfach die Wurzel zum Verschwinden bringen.

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Ok super !

Gibts da sonst eine Alternative auch wenn man die binomische Formel nicht gleich sieht oder erkennt , was mir bei der Klausur auch passieren könnte =( .

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Wenn du das, was unter der Wurzel ist, auf einen Bruchstrich (mit Nenner 64x^4) bringst, siehst du den Binom wahrscheinlich leichter. Vgl. auch den Vorschlag von grosserloewe.

Ist halt Übungssache, was man zuerst sieht.

Answer 2

Substituiere

z=1/x^4 , Du bekommst dann 2 einfache Integrale.

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Hallo Grosserloewe :

dz/dx =-4/x^5

⇔ dx=-dz*(x^5)/4

∫√(1/2 + 1/64u +4/u) *-dz*(x^5)/4 = -∫√(1/2 + 1/64u +4/u) *dz*(x^5)/4

wie ergeben sich da 2 einfache Iintegrale?

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Indem Du vom Integrand den Hauptnenner bildest und dann eine binomische Formel anwendest.