Bestimmtes Integral mit Wurzel

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{-pi}^{pi} \) \( \sqrt{2-2cos(t)} \) dt

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich die Stammfunktion bilden soll und wenn ich irgendetwas versuche kommt immer 0 raus.

Muss ich hier substituieren?

Für jeden Ansatz dankbar.

Answer 1

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Comments

Hab ich versucht. Als Stammfunktion wird mir -4cos(x/2) angezeigt und mit den Grenzen -pi und pi kommt da nicht 8 raus was als Lösung gegeben ist, sondern 0.

---

Mir zeigt das Programm 8 an.

Vli. hast du einen Vorzeichenfehler gemacht.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde den Integranden zunächst ein wenig umformen:$$2-2\cos t=2-2\cos\left(\frac t2+\frac t2\right)=2\underbrace{\left(\cos^2\frac t2+\sin^2\frac t2\right)}_{=1}-2\left(\cos^2\frac t2-\sin^2\frac t2\right)=4\sin^2\frac t2$$

Wegen \(\sqrt{x^2}=|x|\) können wir damit das Integral berechnen:$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\sqrt{2-2\cos t}\,dt=\int\limits_{-\pi}^\pi\left|2\sin\frac t2\right|\,dt=\int\limits_{-\pi}^0\left(-2\sin\frac t2\right)\,dt+\int\limits_{0}^\pi2\sin\frac t2\,dt$$$$\phantom{I}=\left[4\cos\frac t2\right]_{-\pi}^0+\left[-4\cos\frac t2\right]_0^\pi=4\cos0-4\cos\left(-\frac\pi2\right)-4\cos\frac\pi2+4\cos0$$$$\phantom{I}=4-0-0+4=8$$

Answer 3

Hallo,

Setze 2 sin^2(t/2) =1 -cos(t) , dann kommst Du auf 8