Bestimmtes Integral einer Betragsfunktion

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

… Ich bekomme hier, wenn ich das Integral aufspalte, "-20" als Ergebnis, was wohl aber falsch ist

Die Stammfunktion ist doch einfach: 1/2 x² + 1/2 Ι x²Ι                           oder habe ich hier einen Fehler?

Comments

Es ist | x² | = x².

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ja, mit x^2 als Stammfunktion bekomme ich auch -20 raus und das wird mir als falsch angezeigt

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Es ist x + | x | = 0 für x ≤ 0. Daher kannst du x + | x | durch 2x und die untere Grenze durch Null ersetzen.

Answer 1

Aloha :)

Teile das Integral auf, in einen Bereicht mit negativen \(x\)-Werten und einen mit positiven \(x\)-Werten. Im negativen Bereich kannst du \((|x|=-x)\) setzen und im positiven Bereich gilt \((|x|=x)\). In der Rechnung könnte das so aussehen:

$$I=\int\limits_{-6}^4\left(x+|x|\right)\,dx=\int\limits_{-6}^0\left(x+|x|\right)\,dx+\int\limits_{0}^4\left(x+|x|\right)\,dx=\int\limits_{-6}^0\left(x+(-x)\right)\,dx+\int\limits_{0}^4\left(x+x\right)\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{-6}^00\,dx+\int\limits_{0}^42x\,dx=0+\left[x^2\right]_0^4=4^2=16$$