Unendlichkeit bestimmtes Integral

Question

Warum kommt bei diesem Integral 1 raus?

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{\infty} e^{-x} d x \)

Das -e^-∞ sollte doch alles gegen unendlich laufen lassen, oder nicht?

Answer 1

Aloha :)

Wenn man "pathologische" Integrationsgrenzen hat (unendliche Grenzen, Definitionslücken, Unstetigkeitsstellen) ist es oft geschickt, diese Grenze durch einen Parameter zu ersetzen und das Integral zunächst zu bestimmen:$$I(a)=\int\limits_0^ae^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_0^a=-e^{-a}-(-e^0)=1-\frac{1}{e^a}$$Anschließend kannst du \(a\) gegen die ursprüngliche Grenze laufen lassen:$$I=\lim\limits_{a\to\infty}\left(1-\frac{1}{e^a}\right)=1-0=1$$

Answer 2

F(x) = -e^-x = -1/e^x +C

[-1/e^x] von 0 bis oo = -1/e^oo - (-1/e^0) = 0 -(-1) = 1