Aloha :)
Ich würde den Integranden zunächst ein wenig umformen:$$2-2\cos t=2-2\cos\left(\frac t2+\frac t2\right)=2\underbrace{\left(\cos^2\frac t2+\sin^2\frac t2\right)}_{=1}-2\left(\cos^2\frac t2-\sin^2\frac t2\right)=4\sin^2\frac t2$$
Wegen \(\sqrt{x^2}=|x|\) können wir damit das Integral berechnen:$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\sqrt{2-2\cos t}\,dt=\int\limits_{-\pi}^\pi\left|2\sin\frac t2\right|\,dt=\int\limits_{-\pi}^0\left(-2\sin\frac t2\right)\,dt+\int\limits_{0}^\pi2\sin\frac t2\,dt$$$$\phantom{I}=\left[4\cos\frac t2\right]_{-\pi}^0+\left[-4\cos\frac t2\right]_0^\pi=4\cos0-4\cos\left(-\frac\pi2\right)-4\cos\frac\pi2+4\cos0$$$$\phantom{I}=4-0-0+4=8$$
