Wohldefiniertheit im Quotientenkörper

Question

Wie Zeige ich, dass die Addition und Multiplikation im Quotientenkörper wohldefiniert sind?

+:QxQ --> Q mit \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} := \frac{ad+bc}{bd}\)

*:QxQ-->Q mit \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}:=\frac{ac}{bd}\)

Answer 1

Zu zeigen ist, dass die Definitionen unabhaengibg von der Repraesentantenwahl sind. Fuer die Addition z.B. muss gelten: $$\frac{a}{b}=\frac{\alpha}{\beta}\quad\text{und}\quad\frac{c}{d}=\frac{\gamma}{\delta}\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\gamma}{\delta}.$$

Comments

Wie zeige ich das genau?

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Mittels der Aequivalenzrelation, die der Bildung des Quotientenkoerpers zugrunde liegt: $$\frac{a}{b}=\frac{\alpha}{\beta}\quad\Longleftrightarrow\quad a\beta=\alpha b.\quad(*)$$ Fuer die rechte Seite aus der Antwort $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\gamma}{\delta}$$ musst Du erst die Definition der Addition (siehe Aufgabe) eintragen und via \((*)\) die behauptete Gleichheit verifizieren.

Answer 2

Ein Quotientenkörper gehört zu einem Integritätsbereich, mit dessen Definition das klar wird. Nun ja exemplarisch für die Addition könnte man den Ringhomomorphismus zeigen, um die Wohldefiniertheit hervorheben.

a/b + c/d = (ad +bc)/bd

                = (ad + bc)*(bd)^-1

                = (ad + bc)*b^-1 * d^-1

                = a*b^-1 + c*d^-1

                = a/b + c/d

Das ist im Grunde der Gedanke dem du folgen musst...

Comments

Dh bei der Multiplikation könnte ich es genau gleich machen mit:

$$a/b * c/d = ac/bd = ac * (bd)^{-1}= ac*b^{-1}d^{-1}= a*b^{-1} * c*d^{-1}$$

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Ja und jetzt musst du eben zeigen, dass die Komponenten voneinander unabhängig sind, wie die Person unten beschrieben hat, was ich mit dem Ringhomomorphismus im Integritätsbereich meinte!

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Wenn ehrlich bin verstehe ich nicht wie ich das zeigen soll.