Jedes Jahr reduziert sich ein Wert um z.B. 5 %. Wann erreicht der Wert 0? Gibt es dafür eine einfache Formel?

Question

Ich suche eine einfache Formel, mit der ich im Kopf überschlagen kann, wie sich eine gleichmäßige prozentuale Veränderung über einen längeren Zeitraum auswirkt. Wenn zB die Zahl der Mitarbeiter jedes Jahr um 5 % gesenkt wird, habe ich ja irgendwann keine Leute mehr. 5% hört sich ja erstmal nicht viel an. Ich möchte gerne eine einfache Formel kennen, mit der ich im Kopf überschlagen kann, wann - x% im Jahr 0 sind.

Danke

Answer 1

W₀ sei der Anfangswert, p %  der Prozentsatz:

 W(t) = W₀ • (1 - p/100)^t  ist die Formel, aber mit "im Kopf überschlagen" ist da wohl nichts.

Außerdem  wird der Wert W(t) niemals 0, er nähert sich nur dem Wert 0. 

Wenn W eine positive ganzzahlige Größe  ist, kann man aber mit 

W₀ • (1 - p/100)^t  = 1  trotzdem herausfinden, wann Schluss  ist:

(1 - p/100)^t = 1/W₀

t • ln(1 - p/100) = ln(1/W₀)

t = ln(1/W₀) / ln(1 - p/100)  

Gruß Wolfgang

Comments

Puh, das muss ich mir einmal genau ansehen. Dankeschön für die Hilfe.

Answer 2

Also wenn es dir nur um Prozente geht, dann nimm einfach deinen Wert, teile ihn durch 100 und nimm ihn in deinem Fall mal 5. Das ziehst du dann eben von deinem ursprünglichen Wert ab. 

Comments

Kann bei kleinen Prozentsätzen lange dauern , bis man in der Nähe von 0 ist :-)

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Vielen Dank für die Hilfe. Probiere ich gleich mal an ein paar Beispielen aus.

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Das ist völlig richtig :D Aber, wie du schon sagtest, man erreicht die 0 nie und im Kopf wird das auch bei großen Zahlen nicht leicht. Daher war das auch nur eine Art Richtwert... 

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Hallo Ludolf,

warum änderst Du den Tipp nicht um und sagst, er soll den Wert wiederholt mit 0,95 multiplizieren und erklärst warum. Das macht dann die Sache nicht ganz so umständlich.

Gruß

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Das könnte man machen, doch gerade bei großen Zahlen finde ich es im Kopf leichter einfach durch 100 zu rechen! Ansonsten hast du natürlich völlig recht!

Answer 3

Zusammenfassung des Gesagten

Die Aufgabe fällt unter Exonentialgleichung. x ist im Exponent

x = 5 %
Falls Zinsen : 100 + 5 = 105 -> 1.05
K ( x ) = K0 * 1.05 ^x

x = 5 %
Im Reduzierungsfall : 100 - 5 = 95  -> 0.95
f ( x ) = f0 * 0.95^x

habe ich ja irgendwann keine Leute mehr.
Falsch. Die Funktion wird nie 0.

Comments

Hallo Georg,

> x = 5 %

> f ( x ) = f0 * 0.95^x

in der Funktionsvorschrift muss doch wohl statt x die Zeitvariable stehen

Gruß Wolfgang

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Korrektur

Die Aufgabe fällt unter Exonentialgleichung. x ist im Exponent

z = 5 %
Falls Zinsen : 100 + 5 = 105 -> 1.05
K ( x ) = K0 * 1.05 ^x

z = 5 %
Im Reduzierungsfall : 100 - 5 = 95  -> 0.95
f ( x ) = f0 * 0.95^x