A und U von Kreisbögen berechnen

Question

leider hänge ich zurzeit an dieser Aufgabe fest und komme nicht weiter. Über eine Antwort mit (einfachem) Rechenweg würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

für jeden Kreis gilt:  U = 2 • π • r    und A = π • r²

Radius kleine Kreisbögen  r_k = a/4  , Radius große Kreisbögen r_g= a

Die beiden kleinen Halbkreise ergeben also zusammen

den Umfanganteil  U₁ = 2π • a   und den Flächenanteil  A₁ = π • a² /16

Verbindet man A und D unten mit der Herzspitze S, ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck mit der Seitenlänge a.

→   Die beiden Winkel  ADS und SAD  haben das Maß 60°

Ihr Umfangsanteil beträgt  zusammen

U₂ =  2 • 60°/360° • 2 • π • a = 2/3 • π • a 

Ihr Flächenanteil beträgt  zusammen

A₂ =  1/3 • π • a² - a²/4 • √3 = a² • ( 1/3 • π - 1/4 • √3 )

(Diese Fläche des gleichseitigen Dreiecks wurde doppelt berechnet und wir deshalb einmal abgezogen.)

Umfang der Figur = U₁ + U₂ =  2π • a + 2/3 • π • a  = 8/3 • π • a      [ 32/3 • π • a   #]

Fläche der Figur = A₁ + A₂ = π • a²/16 +  a² • ( 1/3 • π - 1/4 • √3 ) 

                               = a² • ( 19/48 • π - 1/4 • √3 )    [ 4a² • ( 19/48 • π - 1/4 • √3 ) #] 

# Edit:

Habe gerade gesehen, dass a nur die Hälfte von r_g beträgt und r_k = a/2 ist.

In der gesamten Rechnung und den Ergebnissen muss deshalb a durch 2a ersetzt werden.

Gruß Wolfgang

Comments

Habe gerade gesehen, dass a nur die Hälfte von r_g beträgt und r_k = a/2 ist.

In den Ergebnissen muss deshalb a durch 2a ersetzt werden.