Auf Untervektorraum prüfen. Bsp. <x,a>=0.

Question

Ich habe diese Aufgabe zu earbeiten.

Bei Nr. a wollte ich das ganze mit dem Kern begründen, der ja einen Unterraum bildet da wir das in der Vorlesung durchgenommen haben.

Allerdings habe ich bei der Basis und bei der b) noch nicht ganz das richtige.

Bei Aufgabe b denke ich mir, das ich wohl damit begründen muss, dass wann x*x=1 ist, es keinen Nullvektor gibt und es somit kein Unterraum ist, oder?

Hoffe mir kann da jemand ein bisschen weiterhelfen :)

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EDIT: c) kommt dann als Frage hier https://www.mathelounge.de/340073/linearer-untervektorraum

noch dazu.

Answer 1

Bei Aufgabe b denke ich mir, das ich wohl damit begründen muss, dass wann x*x=1 ist, es keinen Nullvektor gibt und es somit kein Unterraum ist, oder?

vielleicht besser:   Der Nullvektor erfüllt die Bedingung  x*x=1  nicht, also liegt er nicht in S^d-1 und deshalb

kann S^d-1 kein Unterraum sein.

bei a) musst du nur zeigen:  wenn x und y aus R^d sind, dann auch  x - y aus R^d.

aber das folgt leicht aus < a,x - y > = < a,x >  - < a,y > und für x und y aus R^d ist das 0 - 0 also

auch = 0.

Bei a1 musst du also schauen, für welche x gilt  < a1, x > = 0 , das heißt aber nur x3 = 0

eine Basis bilden also ( 1;0;0) und ( 0;1;0 ) .

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wenn ich die a jetzt mit dem Kern machen wollte, wie müsste ich das dann am besten begründen?

Und danke für die Antwort, hat sehr geholfen!

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Ich habe hier nicht ganz verstanden wie das mit der Basis geht. Könnte das nochmal jemand kurz erklären? :)