Innerer Punkt / Häufungspunkt bei Intervallen

Question

ich glaube ich habe ein kleines Verständnisproblem.

Folgende Aufgabenstellung :Zeigen Sie, dass (−∞, b) für alle b ∈ R offen, aber nicht abgeschlossen ist.   Für mich ist es logisch und laut jeglicher Definition richtig, dass für jedes x ∈ R , dieses Intervall offen ist.

  Nur beachte ich hier b, was ein Randpunkt des Intervalls ist. Laut Definition ist es offen, wenn um jeden inneren Punkt eine Umgebung vorhanden ist. Hat b als Randpunkt eine Umgebung und ist somit Innerer Punkt des Intervalls = offenes Intervall für b∈ R

Ich meine gelesen zu haben, dass bei (a,b) oder ]a,b[ Intervallen a,b nicht Teil der Menge sind und somit auch kein Innerer Punkt sein könnten.

Danke für die Hilfe !

Answer 1

Laut Definition ist es offen, wenn um jeden Punkt eine Umgebung vorhanden ist. Hat b als Randpunkt eine Umgebung und ist somit Innerer Punkt des Intervalls = offenes Intervall für b∈ R

Wie du richtig sagst ist b Randpunkt, also kein innerer Punkt. Deshalb geht es zum Nachweis der

Offenheit des Intervalls nicht um b, sondern um Zahlen, die kleiner sind als b.

Wenn du also ein x aus dem Intervall hast, dann ist es kleiner als b und damit ist

eps = b-x > 0  Und die eps-Umgebung von x ist ganz im Intervall.  Also gibt es zu

jedem innereren Punkt des Int. eine ganze Umgebung, die auch im Int. liegt.

Deshalb ist das Int. offen.