Häufungspunkte/Mengen. Zeigen, dass 0 ein Häufungspunkt von {a/b | a,b Element N} ist.

Question

a) Zeigen Sie, dass 0 ein Häufungspunkt der Menge \( \left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{N}\right\} \) ist.

b) Hat die Menge der ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) Häufungspunkte? (Begründung!)

c) Berechnen Sie die Grenzwerte

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} \frac{1}{e^{x}-1} \quad \text { und } \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0-} \frac{1}{e^{x}-1} \)

Answer 1

die Folge \(c_n = \frac{1}{n} \) ist Teilmenge deiner Menge.

Gruß

Comments

Vielen Dank 

Weißt du vielleicht ob die Menge der ganzen Zahlen Häufungspunkte hat?

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Nein hat sie nicht als Teilmenge der reellen Zahlen. Sollte aus der Definition eigentlich ersichtlich sein.

Answer 2

a) 

(an)_n€N mit an: = 1/n ist eine Folge, die in der gegebenen Menge liegt und gegen 0 konvergiert. Daher ist 0 ein Häufungspunkt der gegebenen Menge. 

b) 

Kommt auf eure Definition von Häufungspunkt an. Wenn der Häufungspunkt nicht in der Folge gegen ihn liegen darf, ist die Behauptung falsch.

Sonst wäre (an)_n€N mit an: = -2 eine Folge, die gegen -2 konvergiert und daher ein Gegenbeispiel und Z hätte Häufungspunkt. 

Genaueres zu den unterschiedlichen Definitionen: https://de.wikipedia.org/wiki/Häufungspunkt#Folgenh.C3.A4ufungspunkte_und_Mengenh.C3.A4ufungspunkte

und deren Zusammenhang. 

c) da e^x > 1 für x > 0. ==> lim_x->0+ 1/(e^x - 1) = + unendlich

da e^x < 1 für x < 0. ==> lim_x->0- 1/(e^x - 1) = - unendlich