Funktionsgleichung aufstellen mit Wendepunkt

Question

Ich stehe grade ziemlich auf dem Schlauch.

Ich habe die Aufgabe eine Funktion dritten Grades aufzustellen mit folgenden weiteren Informationen:

Die Funktion hat im Punkt W(1/1) eine Wendestelle. Dort beträgt die Steigung -2 und an der Stelle 2 schneidet sie die y-Achse.

Ich habe schon ziemlich rumprobiert. Natürlich kenne ich die allgemeine Funktion:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Ich weiß, dass die -2 das Ergebnis der ersten Ableitung ist, wenn man 1 einsetzt und ich weiß, dass 2 der y-Achsenabschnitt ist, also d = 2

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b.

So nun hab ich meine Infos in die zweite Ableitung eingesetzt und nach b aufgelöst: 0 = 6*a*1+2b --> b=3a

Dann meine Infos in die erste: -2 = 3a*1-6a+c --> c = -2 + 3a

Und dann alles in die f(x): 1 = a*1 - 3a + (-2+3a) + 2 --> a=1

Somit konnte ich ausrechnen b= -3 und c = 1

Meine Funktion: f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2, was auch stimmt, aber das kann doch nicht der einzige Weg sein um auf die Funktion zu kommen oder?

:)

Comments

Wenn du diese Art von Aufgaben lösen willst empfiehlt sich
folgendes Schema einzuhalten um den Überblick zu wahren.

Allgemeine Funktionsgleichung und auch die Ableitung, sofern
notwendig, hinschreiben

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

Die Aussagen in Kurzform notieren
f ( 1 ) = 1
f '( 1 ) = -2
f '' ( 1 ) = 0
f ( 0 ) = 2

Eingesetzt ergibt sich

a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = -2
6a + 2b = 0
d = 2

Dieses lineare Gleichungssystem berechnen.
Es ergibt sich das bekannte Ergebnis

f ( x ) = x^3 - 3·x^2 + x + 2

Falls du dir Arbeit sparen willst und darfst gehe nach

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Dort im Feld
" Eigenschaften eingeben "
f ( 1 ) = 1
f '( 1 ) = -2
f '' ( 1 ) = 0
f ( 0 ) = 2
" berechnen " Schaltfläche drücken.

Ausgabe
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = -2
6a + 2b = 0
d = 2

f(x) = x^3 - 3·x^2 + x + 2

( Hinweis : für die Eingabe von "  ´  " das <Shift> Zeichen auf der
Doppelgatter-Taste  rechts neben dem ä verwenden. )
Probeweise mit

f ( 1 ) = 1
f '( 1 ) = -2
f '' ( 1 ) = 0
f ( 0 ) = 2

( Copy und Paste ) einmal versuchen.

mfg Georg

Answer 1

wenn man weniger Erklärungen schreibt, wird es kürzer, aber grundsätzlich muss man es so machen wie du.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Es gibt ja noch:

f ''(1)=0

und

f(1)=1