Anfangswertproblem AWP x' = (a^2 + x^2)(b^2 + t^2), wenn x(0) = xo

Question

Wie bestimmt man die Lösung eines AWP x' = (a^2 + x^2)(b^2 + t^2), wenn...

\( \dot{x}=\left(a^{2}+x^{2}\right)\left(b^{2}+t^{2}\right), \quad x(0)=x_{0} \in \mathbb{R}, a, b>0, t_{0} \in \mathbb{R} \)

... wie in dieser Funktion x(0) nicht gleich einer bestimmten Zahl ist.

Comments

Diese Dgl ist separierbar.

dx / dt = (a^2 + x^2)(b^2 + t^2)

1/(a^2 + x^2) dx = (b^2 + t^2) dt

Ich hoffe mal, dass ihr das jetzt selbst links und rechts integrieren könnt. + C nicht vergessen.

Integrationshilfe zB auch hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx+%2F+dt+%3D+%28a%5E2+%2B+x%5E2%29%28b%5E2+%2B+t%5E2%29

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Wir haben jetzt integriert und kommen auf  folgendes

(-a^-1-x^-1+c₁)=(1/3b³+1/3t³+c₂)

Haben wir das richtig gemacht?

Und uns ist der nächste Schritt noch nicht klar.. Müssen wir die Gleichung jetzt nach x auflösen?

Vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort! :)

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Die Integration links ist so nicht ok. Da kommt der Tangens (besser: arctan) ins Spiel (am besten, wenn ihr die benutzen dürft, gute Formelsammlung benutzen).

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/tan-x-ableitung.html

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Uns ist leider überhaupt nicht klar, woher der tangens da kommt. Wir dürfen leider keine Formelsammlung benutzen und in unserem Wissen aus der Schule, kam der Tangens bei solchen Aufgaben nicht vor

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Achtung: arctan (nicht nur tan ist angebrachter) Ohne arctan geht's hier wohl nicht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%28x%5E2+%2B+a%5E2%29

Integration von speziellen Bruchtermen sollte allerdings bei diesem Weg bekannt sein.

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rechts nach t integrieren nicht noch nach b!

(b^2 *t +1/3t³+c₂)

Ist denn in eurem AWP x keine Funktion von t ? 

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wir haben genau das gegeben, was wir da auch hingeschrieben haben :(

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jetzt haben wir grad verstanden, was du meintest ;) wird schon nach t sein und klar ist dann unsere Integration falsch

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Ok. Dann mach ich aus meinem 1. Kommentar eine Antwort.

Answer 1

Diese Dgl ist separierbar.

dx / dt = (a² + x²)(b² + t²)

1/(a² + x²) dx = (b² + t²) dt

Jetzt selbst links und rechts integrieren + C nicht vergessen.

Integrationshilfe zB auch hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx+%2F+dt+%3D+%28a%5E2+%2B+x%5E2%29%28b%5E2+%2B+t%5E2%29