der Begriff der Stetigkeit in topologischen Räumen bereitet mir etwas Schwierigkeiten.
Folgende Aufgabe:
Sei $$f:X\to Y$$ ein topologischer Raum.
Ist $$\mathcal{U}$$ eine offene Überdeckung von $$X$$ und ist $$f_{|U}$$ stetig für jedes $$U\in\mathcal{U}$$ so ist auch $$f$$ stetig.
(Irgendwie wird automatisch ein Zeilenumbruch gemacht, wenn ich das doppelte Dollarzeichen setze... lässt sich das vermeiden?)
Meine erste Frage ist, warum ich nicht sagen kann, dass f stetig in jedem Punkt ist. Denn jedes x aus X liegt in einer offenen Menge. Und die Funktion f ist auf diese Menge eingeschränkt stetig. Da wir eine offene Überdeckung haben, gilt dies also für alle x und somit müsste f in jedem Punkt stetig sein.
So einfach sollte es aber nicht gehen, aber warum?
Um die Stetigkeit von f zu zeigen, kann ich zeigen, dass das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist. Das habe ich versucht, aber bin daran gescheitert, ich denke auch nicht, dass es so einfach geht, da ja keine konkrete Topologie angegeben ist.
Ich möchte zeigen, dass f stetig in jedem Punkt ist, also die "grobe" Idee von oben weiter ausführen, doch auch das gelingt mir nicht.
Hat jemand einen Tipp wie ich ansetzen kann?
