lineares Ausgleichsproblem

Question

Wenn man eine Matrix A und einen Vektor b (,Sodass ||Ax-b||_(2) minimal ist )hat wie kann man die normalengleichung bestimmen

Und wenn man 3 Gleichungen hat wie kann man die Matrix A und Den Vektor  bestimmen

wie kann man noch am Ende das x bestimmen ??

Kann mir das jemand vielleicht an diesem Beispiel zeigen ( kann auch an einem anderen Beispiel sein, will nur verstehen wie das Funktionkiert)

1) A = {(2,2,1),(1,2,1)} ^T und b ={(2,5,7)}^T

2) x+2y=4

    3x+4y=15

    2x-y=5

Answer 1

x+2y=4

    3x+4y=15

    2x-y=5

Und wenn man 3 Gleichungen hat wie kann man die Matrix A und Den Vektor  bestimmen.

Wenn das von der Form A*x=b ist, ist die Matrix A  hier

1     2
3     4
2    -1

und Vektor b =

4
15
5

Ax-b ist dann der Vektor

     x+2y-4
    3x+4y-15
    2x-y-5

und ||Ax-b||₂

= wurzel(  ( x+2y-4 )² +(3x+4y-15 )^2 + (2x-y-5 ) ^2 )

Da die Wurzelfunktion streng monoton ist, brauchst du nur das

Minimum von f(x,y) = ( x+2y-4 )² +(3x+4y-15 )^2 + (2x-y-5 ) ^2

zu bestimmen.  Mit Gradient = ( 0;0) und so.

Comments

Ich bekomme
28x+24y-118=0 und 24x+42y-126=0
gibt Min bei (3,22 ; 1,16 ) .
Könnte passen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot++%28+x%2B2y-4+%292+%2B%283x%2B4y-15+%29^2+%2B+%282x-y-5+%29+^2

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Ich weiß jetzt nicht ob ich mich irre aber muss das aber nicht mit der qr-Zerlegung machen, also ich hätte jetzt nicht gedacht das es so einfach ist ??

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Viele Wege führen nach Rom.

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wie würde man denn vorgehen wenn man es mit der Qr Zerlegung macht ??

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Da kenn ich mich nicht so aus.