Aufgabe:
Approximieren Sie die Dreiecks-Funktion h : [−π;π] →R mit
h(x) =
{ x + π für x ∈[−π;0]
−x + π für x ∈[0;π]
im Sinne der Integral-Norm für Funktionen bestmöglich durch eine Funktion der Bauart
f(x) = λ1f1(x) + λ2f2(x) mit den Basisfunktionen
f1(x) = 1
f2(x) = x2
--> Stellen Sie das Normalen-Gleichungssystem auf und lösen Sie es.
Problem/Ansatz:
Eigentlich klappt es mit der Lösung soweit ganz gut. Ich habe erst das Normalen-Gleichungssystem aufgestellt:
( ∫ π−π f1(x) ·f1(x)dx ∫π−π f1(x) ·f2(x)dx (λ1 (∫π−π f1(x) ·h(x)dx
∫π−π f2(x) ·f1(x)dx ∫π−π f2(x) ·f2(x)dx) λ2) = ∫π−π f2(x) ·h(x)dx)
Und anschließend habe ich die Integrale berechnet.
Bei den beiden auf der rechten Seite des Gleichungssystems, komme ich jetzt jedoch ein wenig in Trouble.
In der Lösung steht folgendes Ergebnis: (Hinweis: Mit "∫π−π" ist die Range des Intervalls gemeint, konnte leider nicht anders dargestellt werden)
∫π−π f1(x) ·h(x)dx = 2 ·∫π0 f1(x) ·h(x)dx = 2 ·∫π0 (−x + π)dx = 2 ·[−1/2x^2 + πx]π0 = 2 ·(−1/2π^2 + π^2 −(−1/20^2 + π ·0)) = π^2
Hierbei verstehe ich zwei Dinge nicht:
1. Woher kommen die 2*?
2. Wieso ist das Ergebnis des Aufleitens des Pis "Pi*x" und nicht wie für gewöhnlich 1/2Pi^2?
Ich hoffe sehr, Ihr könnt mir diesbezüglich weiterhelfen.
Vielen Dank!
