Beweisen Sie, dass eine Konstante c ∈ R, sodass f(x) = ce^x existiert

Question

Beweisen sie folgende Aussage:

Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion mit f′(x) = f(x) für alle  x ∈ R, dann existiert eine Konstante c ∈ R, sodass f(x) = ce^x

für alle  x ∈ R.

(Hinweis: Betrachten Sie für i) die Hilfsfunktion g(x) = f(x)e^−x.)

Wie soll ich hier vorgehen? Habe keine Idee, was sollte ich tun?

Danke.

Answer 1

Folge dem Tipp und bilde die Ableitung

g'(x)= f'(x)*e^(-x) + f(x) * (-e^(-x) ) = (f(x) - f'(x) ) * e^(-x) = 0*e^(-x) = 0

==>  g (x) ist konstant, etwa g(x) = c

==>   f(x)e^(−x)  = c   | *e^(x)

==>  f(x) = c*e^(x)    q.e.d.

Comments

warum f(x) - f'(x) = 0 ?

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weil  f(x)  = f'(x)  war gegeben