Zeigen Sie, dass die Determinante von D das Produkt der Diagonaleinträge ist:

Question

Sei K ein Körper und

\( D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda_{1}} & {} & {} \\ {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\lambda_{n}}\end{array}\right) \in K^{n \times n} \)

eine Diagonalmatrix mit Einträgen in K.

Zeigen Sie, dass die Determinante von D das Produkt der Diagonaleinträge ist:

det(D) =λ₁λ₂···λ_n.

Comments

Hallo

wie habt ihr denn das ausrechnen von Determinanten gelernt?

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Die Aussage folgt unmittelbar mit der Leibniz-Formel \(\displaystyle\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i{,}\sigma(i)}\right)\).
Nur der Summand für \(\sigma=\operatorname{id}\) bleibt übrig, alle anderen sind Null.

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante gibt das "Volumen" an, das die Spaltenvektoren aufspannen. Daher kann man aus jeder Spalte einen konstanten Faktor vor die Determinante ziehen, ohne ihren Wert zu ändern:

$$\left|\begin{array}{c}\lambda_1 & & &\\ &\lambda_2 & &\\& & \ddots &\\ & & & \lambda_n\end{array}\right|=\lambda_1\left|\begin{array}{c}1 & & &\\ &\lambda_2 & &\\& & \ddots &\\ & & & \lambda_n\end{array}\right|=\lambda_1\lambda_2\left|\begin{array}{c}1 & & &\\ &1 & &\\& & \ddots &\\ & & & \lambda_n\end{array}\right|$$$$=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\left|\begin{array}{c}1 & & &\\ &1 & &\\& & \ddots &\\ & & & 1\end{array}\right|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$Da die Determinante der Einheitsmatrix \(=1\) ist, folgt daraus sofort die Behauptung.

Answer 2

Der rekursive Ansatz $$\left| \left(\begin{array}{ccc}{\lambda_{1}} & {} & {} \\ {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\lambda_{n}}\end{array}\right)\right| = \lambda_n\cdot \left| \left(\begin{array}{ccc}{\lambda_{1}} & {} & {} \\ {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\lambda_{n-1}}\end{array}\right)\right| = \dots $$ zusammen mit $$\left|\left(\lambda_1\right)\right| = \lambda_1 $$ dürfte als Begründung wohl ausreichen. 

Comments

Erklär mal bitte was du damit meinst, lamda n mal die Diagonalmatrix, die bis lamda n-1 geht? Das verstehe ich nicht. rechnest du ein skalar mal eine matrix? oder was gemeint? wieso darf man das einfach rausziehen?

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Es gilt der Laplacesche Entwicklungssatz, den ich hier als bekannt vorausgesetzt habe. Mit seiner Hilfe lässt sich eine n-reihige Determinante als Linearkombination aus (n-1) Summanden von (n-1)-reihigen Determinanten entwickeln. Da allenfalls die Hauptdiagonale einer Diagonalmatrix von 0 verschiedene Werte enthält, besteht diese Linearkombination tatsächlich nur aus dem skalaren Vielfachen einer (n-1)-reihigen Determinante.

Entwickelt wird dann rekursiv nach der jeweils letzten Zeile oder Spalte. Schreibt man den Skalar noch rechts von der Matrix, etwa so $$\dots = \left| \left(\begin{array}{ccc}{\lambda_{1}} & {} & {} \\ {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\lambda_{n-1}}\end{array}\right)\right|\cdot\lambda_n = \dots,$$ dann steht nach n Schritten die Behauptung da.

Answer 3

Entwicklung nach der 1. Spalte gibt    D =

                        λ2  0 …………… 0 
   λ1 * det (       0   λ3 0   ……...  0     )
                        .............................
                        0 ...................0   λn

und die "Restdeterminante" ist auch wieder

eine mit ner Diagonalmatrix.

Ganz ordentlich geht das wohl mit vollst. Induktion.

Comments

Ahh Induktion also. Und nach was führe ich die Induktion durch??

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nach n. (Anzahl der Spalten/Zeilen der Matrix).