Funktionsgrenzwert bestimmen: (x^2 + sin(x^2))/(x^2 + 1) für x -> -unendlich

Question

Kann mir jemand bitte helfen?

$$ \underset { x->-\infty  }{ lim } \frac { { x }^{ 2 }+sin({ x }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }+1 } $$

Answer 1

kürze den Bruch mit \(x^2\) und erkenne, dass der gesuchte Grenzwert \(1\) ist.

Gruß

Comments

Wenn ich den Bruch mit x^2 kürze, dann bleibt mir sin(x^2)/x^2 übrig. Warum ist sin(x^2)/x^2 = 1?

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Ist es doch gar nicht.

$$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0 $$

Einfache Begründung: Zähler ist begrenzt zwischen -1 und 1 und Nenner wächst unbegrenzt.

Wenn du richtig kürzt sollten aber noch ein paar andere Sachen "übrig bleiben".

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Ohh sorry. Stimmt, hab jetzt (1+0)/(1+0). Ich danke dir für die Hilfe

Answer 2

Dividiere Zähler und Nenner durch x² und betrachte dann die Summanden einzeln.
(1+sin(x²)/(x²))/(1+1/x²). Für x gegen unendlich bewegt sich der Zahler von sin(x²)/(x²)) zwischen 0 und 1 während der Nenner gegen unendlichgeht . Dieser Teil geht also gegen 0. Ebenso 1/x². Damit bleibt 1/1 = 1  als Grenzwert stehen

Answer 3

(x^2 + sin(x^2))/(x^2 + 1)          | kürzen mit x^2 

= (1 + (sin(x^2))/x^2) / ( 1 + 1/x^2)

Grenzübergang x-> -unendlich

---> (1 + 0)/(1+0) = 1.