Ablehnungswahrscheinlichkeit von 100 Elektrogeräten mit zurücklegen.

Question

Hi liebe Community vielleicht könnt ihr mir ja helfen !

Die Aufgabe lautet: 

 

Eine Lieferung von 100 Elektrogeräten enthalte d defekte Stücke. Über die Annahme oder Rücksendung entscheidet folgende Regel : Sobald im Laufe der Prüfung zwei gute Stücke aufgetreten sind, wird die Lieferung angenommen, sobald zwei defekte Stücke aufgetreten sind, wird die Lieferung abgelehnt und zurückgesandt. Die Stichprobe wird durch blinde Entnahme mit Zurücklegen erzeugt.

a) Wie viele Stücke müssen höchstens geprüft werden ? 

b) Berechnen sie die Ablehnungswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von d.

c) Beschreibe die Zufallsvariable N den Stichprobenumfang ( Anzahl der für die Stichprobe gezogenen Stücke). Berechnen sie den Erwartungswert von N in Abhängigkeit von d. Welchen Minimalen und Maximalen Wert kann E(N) annehmen ? Für welche d nimmt E(N) seinen maximalen bzw. minimalen Wert an ?

 

Comments

Hi, offenbar müssen mindestens zwei und höchstens drei Stücke geprüft werden.
Die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Gerät beträgt d/100.
Abgelehnt wird mit der Wahrscheinlichkeit d/100 * d/100 + (1-d/100) * d/100 * d/100 * 2.

Für c) muss zunächst mal die (sehr übersichtliche) Verteilung aufgestellt werden.

Answer 1

a) Wie viele Stücke müssen höchstens geprüft werden ? 

Sobald man 3 Geräte getestet hat müssen 2 heil oder defekt sein.

b) Berechnen sie die Ablehnungswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von d.

d/100 * d/100 * (100-d)/100 * 4 = d^2/2500 - d^3/250000

c) Beschreibe die Zufallsvariable N den Stichprobenumfang ( Anzahl der für die Stichprobe gezogenen Stücke). Berechnen sie den Erwartungswert von N in Abhängigkeit von d. Welchen Minimalen und Maximalen Wert kann E(N) annehmen ? Für welche d nimmt E(N) seinen maximalen bzw. minimalen Wert an ?

N = {2, 3}

P(2) = d/100 * d/100 + (100-d)/100 * (100-d)/100 = (d^2 - 100·d + 5000)/5000

P(3) = 1 - E(2) = 1 - (d^2 - 100d + 5000)/5000 = (100d - d^2)/5000

E(N) = 2 * (d^2 - 100·d + 5000)/5000 + 3 * (100d - d^2)/5000 = - (d^2 - 100·d - 10000)/5000

E'(N) = (50 - d)/2500 = 0

Damit muss d = 50 sein um einen Maximalen Erwartungswert zu haben. Wenn d = 0 oder 100 ist haben wir den geringsten Erwartungswert.

E(N) max = - (50^2 - 100·50 - 10000)/5000 = 2.5

E(N) min = 2