Wie lautet die Definitionsmenge der Ableitung?

Question

f(x)= (25-x²)^0,5

1. Bilde die Ableitung und gib die Definitionsmenge von f und f' an.

→f'(x) = -x/(2*(25-x²)^0,5)

Ich habe aber keine Ahnung wie die Definitionsmenge lautet.

2. Stell die Gleichungen der Tangente t und der Normalen n an den Graphen von f im Punkt Q(a/b) auf. Was fällt bei der Gleichung für die Normale auf?

Wie löst man die beiden Aufgaben??

Answer 1

1.

f(x) = (25-x²)^0,5  ist nicht definiert, wenn der Term unter der Wurzel negativ ist, 

also für 25 - x²< 0 ⇔ x² > 25 ⇔ |x| > 5  ⇔   - 5 < x <  5   →    D_f  =  [ -5 , 5 ]

f '(x) =- x / √(25 - x²) (!)   ist  zusätzlich für die x-Werte nicht definiert, für die der Nenner = 0 wird, also für x=5 und x=-5   →   D_{f '} =  ] - 5 ; 5 [ 

2.

b muss gleich f(a) sein, sonst macht die Frage keinen Sinn:

Tangentengleichung:   y  =  f '(a) • (x-a) + f(a)

Normalengleichung:    y = -1 / f '(a) • (x-a) + f(a)   für  f '(a) ≠ 0, also für a≠0

Für a=0 hat die Tangente die Gleichung y = f(0) = 5   und die Normale  x = 0

G_f  ist ein Halbkreis:

Gruß Wolfgang

Comments

Hab meinen Fehler bei der Ableitung entdeckt
(-2x)/2  ist -x und nicht-x/2 :D

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nein, die innere Ableitung unter der Wurzel ist -2x, deshalb kürzt sich die 2 vor der Wurzel weg

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Du hast einen Fehler gemacht... 25-x² ist kleiner 0, d.h f(x) ist für -5 kleiner gleich x kleiner gleich 5 definiert

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Du hast recht, danke für den Hinweis. Hatte mich in der 2. Zeile < statt > getippt.  werde  es korrigieren.

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kein Problem. Die Tangente für a=3 ist 6,25-0,75x richtig?

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das ist perfekt :-)

Answer 2

-x  /  (2*(25-x²)^0,5)

Für die Def.menge gibt es hier zwei Probleme:

In einer Wurzel darf nichts negatives sein, also

   25-x^2  ≥ 0  und weil das im Nenner ist, darf es auch nicht 0 sein,

also muss gelten    25 - x^2 > 0

                                           25 > x^2

also x aus ] -5 ; 5 [ . Das ist der Definitionsbereich von f '.

2. Stell die Gleichungen der Tangente t und der Normalen n an den Graphen von f im Punkt Q(a/b) auf. Was fällt bei der Gleichung für die Normale auf?

Steigung d. Tang:   m =    f ' (a)  also  m = - a /    (2*(25-a²)^0,5)

und   Geradengleichung   y = m*x + n

um n zu bestimmen  (a;b) einsetzen und nach n auflösen.

Normale:    m =     (2*(25-x²)^0,5) /  a und       y = m*x + n  gibt

  b =     (2*(25-a²)^0,5) /  a      *   a    +   n 

b  -    (2*(25-a²)^0,5)    = n 

also   y =     (2*(25-a²)^0,5) /  a   * x   +    b  -    (2*(25-a²)^0,5)

Comments

Die Ableitung ist falsch.