Grenzwert einer Folge bestimmen: an=√n (√(n+3) -√n)

Question

Grenzwert der Folge (an)n∈ℕ  für:

an=√n (√(n+3) -√n)   berechnen.

Wäre toll wenn mir einer eventuell die Aufgabe mal als Beispiel durchrechnen könnte. Ich habe noch mehrer solcher Aufgaben die ich berechnen soll.

Answer 1

Hi,

$$ \sqrt { n }*(\sqrt { n+3 }-\sqrt { n })=\sqrt { n*(n+3) }-n=\frac { (\sqrt { n*(n+3) }-n)*(\sqrt { n*(n+3) }+n) }{ (\sqrt { n*(n+3) }+n) }=\frac { n*(n+3)-n^2 }{ \sqrt { n*(n+3) }+n}=\frac { 3n }{ \sqrt { n*(n+3) }+n }=\frac { 3 }{ \sqrt { 1+3/n }+1 } $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac { 3 }{ \sqrt { 1+3/n }+1 }=\frac { 3 }{ 2 }$$

Comments

Vielen lieben Dank das hilft mir super weiter! ist auch verständlich so wie du das aufgeschrieben hast.

Answer 2

√n • ( √(n+3) - √n ) =   √n • ( √(n+3) - √n ) ( √(n+3) + √n ) / ( √(n+3) + √n ) 

3. binomische Formel

= √n • (3+n - n) / ( √(n+3) + √n ) = 3 • √n / ( √(n+3) + √n )  → 3/2  für n→ ∞ 

weil lim_n→∞ ( √(n+3) + √n ) = im_n→∞ ( 2• √n )

Gruß Wolfgang