Grenzwert der Folge bestimmen: an:= √n * (n-te√n -1)

Question

an:= √n * (n-te√n -1)

Wie soll ich beweisen, dass der Grenzwert 0 ist?

Mit einem Widerspruchsbeweis habe ich das gelöst, aber mein Prof meinte heute, dass wir das mithilfe von Nullfolgen zeigen.

Hab grad kein Plan, ich bedanke mich für jede Hilfe!

Gruesse

Comments

Du kannst vielleicht mit dem 3. Binom (allgemeinere Form) erweitern.

Hast du die Formel a^n - b^n hier https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln#H.C3.B6here_Potenzen_und_Faktorisierungen_von_Potenzsummen

schon getestet? Mit a = ^n√(n) und b = 1.

Habe noch nichts gerechnet! Könnte einfacher / anders gehen.

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Hab's gemacht. Hilft mir irgendwie nicht weiter.

Answer 1

f(x) = sqrt(x)*(x^{1/x}-1) mit sqrt=Wurzel

lim f(x) =0 für x->∞

Beweis:

Mit Hilfe von https://en.wikipedia.org/wiki/Puiseux_series

kann man eine Serienentwicklung (Näherungsformel) aufstellen:

f1(x)=-sqrt(1/x)*log(1/x)

f(x) = f1(x) + Rest(x) mit Rest(x) < 3/x

f2(x) = 3/x-sqrt(1/x)*log(1/x)

für x>6 gilt: alle 3 sind monoton fallend mit:

f1(x) <= f(x) <= f2(x) 

lim f1(x), x->∞ =0

lim f2(x), x->∞ =0

Da f(x) immer zwischen beiden liegt, kann der Grenzwert auch nur 0 sein!

Was der Iterationsrechner online beweist { x^y=pow(x,y) }:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm