Hilfe bei der Aufgabe zu Matrizen

Question

Aufgabe 1 a habe ich soweit richtig bei 1b habe ich für D eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen 2,1,0. ICh weiß aber nicht wie ich das deuten soll. Außerdem dachte ich das die Matrix A für D rauskommen würden weil ja S und die inverse zu S multipliziert die Einheitsmatrix ergeben und die ergibt mit A multipliziert doch wieder A. Ich  weiß das da steht das man das Produkt AS und nicht SS^-1 berechnen soll aber das kommt doch nach dem Assoziativgesetz für Matrizen auf das selbe hinaus. Bei Aufgabe 2 weiß ich was hermitesch bedeutet es scheitert nur gerade daran a und b zu bestimmen. c ist ja eindeutig 1 und a kann zum einen i und -i sein und b eben gleich 2i und -2i. Das sieht man wenn man die adjungierte zu A mit A gleichgesetzt (Bedingung für hermitesch)Ich weiß nicht ob das stimmt und wie ich da auf werte kommen soll... b und c gehen denke ich wenn man die Werte in a rausbekommen hat
Liebe Grüße und schonmal danke an alle die mir helfen wollen:)

Answer 1

Hi,
(1b) ist richtig. Die Diagonalelemente der Matrix \( D \) sind die Eigenwerte der Matrix \( A \) und die Matrix \( S \) hat als Spaltenvektoren die normierte Eigenvektoren von \( A \)

(2a) Es muss gelten \( A^t = \overline{A} \) also \(  \begin{pmatrix}  1 & -i & b \\ a & 0 & c \\ 2i & 1 &  0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 & \overline{a} & -2i \\ i & 0 & 1 \\ \overline{b} & \overline{c} & 0 \end{pmatrix} \) Deshlab gilt \( a = i \), \( b = -2i \) und \( c = 1 \)

(2c) es ergibt sich \( A A^* = \begin{pmatrix}  6 & -3i & -3i \\ 3i & 2 & 2 \\ 3i & 2 & 5 \end{pmatrix} \) und die ist hermitesch.