Determinanten komplexer Matrizen und einer Modulo 5 Matrix bestimmen

Question

Wir haben jetzt mit Determinanten angefangen. Wir sollen die Determinanten von zwei komplexen Matrizen und einer Matrix mit Modulo 5 berechnen.

Ich hab das mal probiert, könnte mir vielleicht jemand sagen, ob meine Ergebnisse richtig sind?

$$ A = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 - i } & { 0 } & { 2 } \\ { 1 } & { - 2 } & { - 1 } \end{array} \right) \\ det(A) = -6+2i $$

$$ B = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 2 i } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 i } & { 2 i } & { 2 i } \\ { 2 i } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 2 i } & { 0 } & { 0 } & { 2 i } \end{array} \right) \\ det(B) = 12 $$

$$ \mathbb { Z } / 5 \mathbb { Z } : C = \begin{pmatrix} \overline { 2 } & \overline { 2 } & \overline { 3 } \\ \overline { 3 } & \overline { 1 } & \overline { 4 } \\ \overline { 2 } & \overline { 3 } & \overline { 2 } \end{pmatrix} \\ det(C) = \overline{0} $$

Answer 1

Det(B)

Entwicklung nach der ersten Zeile:

[2i, 2i, 2i;
2, -1, 0;
0, 0, 2i] = 4 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-8) = +12

1 * 12 = 12

 

[0, 2i, 2i;
2i, 2, 0;
2i, 0, 2i] = 0 + 0 + 0 - (-8) - 0 - (-8i) = 8 + 8i

2i * (8 + 8i) = -16 + 16i

 

Det(B) = 12 - 16 + 16i = -4 + 16i

Answer 2

Det(A) = 0+0-2(1-i) -4 = -2 +2i - 4 = 2i-6

Det(C) = 4+16+27 -6-24-12 mod 5

            = 5 mod 5

            = 0 mod 5         (Querstriche selbst ergänzen)

Det(B) kann ich nicht so einfach nachrechnen. Vielleicht hilft da sonst noch jemand.

Comments

Ich habe  det(A) = -6 + 2i  und  det(B) = -4 +16i  ausgerechnet.

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Du hast Recht Det(A)= -6 +2i

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ich komme bei det(B) nicht auf dein Ergebnis, siehst du vielleicht wo ich einen Fehler habe?

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Leider kann ich deine Argumentation nicht nachvollziehen. Mein Ansatz entspricht der Entwicklung nach der ersten Zeile:

$$ \operatorname { det } ( B ) = 1 \cdot \left| \begin{array} { c c c } { 2 i } & { 2 i } & { 2 i } \\ { 2 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right| + 2 i \cdot \left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { 2 i } & { 2 i } \\ { 2 i } & { 2 } & { 0 } \\ { 2 i } & { 0 } & { 2 i } \end{array} \right| $$

Damit reduziert sich die Berechnung von  det(B)  auf die Berechnung der Determinanten zweier 3×3-Matrizen.

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Ich verstehe leider nicht, was genau du da machst.

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Entwicklung nach der ersten Zeilen ist das richtige Prinzip. Man darf ab Dimension 4 nicht mehr einfach über die Diagonalen multiplizieren.

Bei der Entwicklung nach der ersten Zeile multipliziert man zu jedem Element (1,i) der ersten Zeile die Determinante der Matrix, die übrig bleibt, wenn man Zeile 1 und Spalte i streicht. Dabei wechseln sich Vorzeichen der Summanden ab.

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Achso, das hatten wir in der Uni noch nicht. Nur das mit den Diagonalen.

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Noch eine Frage:

wie rechne ich dann mit den 2i* (...) weiter? Irgendwie sehe ich da noch nicht ganz durch.

Muss ich die 2i mit jedem multiplizieren oder was mache ich da?

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Berechne die Determinanten der beiden 3×3-Matrizen.

$$ \operatorname { det } ( B ) = \left| \begin{array} { c c c } { 2 i } & { 2 i } & { 2 i } \\ { 2 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 i } \end{array} \right| + 2 i \left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { 2 i } & { 2 i } \\ { 2 i } & { 2 } & { 0 } \\ { 2 i } & { 0 } & { 2 i } \end{array} \right| = 12 + 2 i ( 8 i + 8 ) = - 4 + 16 i $$