Determinanten bei nxn-Matrix. Bsp. bij= 0 wenn i=j ; 1 wenn i≠j.

Question

Ich scheitere gerade daran, Determinanten von Matrizen zu bestimmen, die nxn Einträge haben.

1.

1+a1	a2	...	an
a1	1+a2	...	an
a1	a2	,,,	an
...	...	...	...
a1	a2	...	1+an

Hier habe ich die erste Zeile bei den 2. bis n. Zeilen subtrahiert, weiß aber nicht weiter, was jetzt...

2.

b_ij= 0 wenn i=j ; 1 wenn i≠j

Da sind die Diagonaleinträge 0, die restlichen 1, also irgendwie eine Art "falschherume" Gauß-Matrix, aber wie formt man da was beweissicher um, was ist da der Trick?

3.

c_ij= 1 wenn i=j, -1 wenn i=j-1, j^2 wenn i=j+1, 0 sonst

Die Determinante muss man induktiv beweisen. Aufgrund det(C1)=1, det(C2)=3, usw vermute ich, dass det(An)=n!, hab da aber auch keinen Ansatz fürden Induktionsschluss

Comments

Tipp zu (b): Die Matrix \(B+I_n\) hat den Rang \(1\) sowie den Eigenwert \(n\).

Answer 1

Mit der dritten elementaren Zeilenunformung https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Elementary_row_operations versuchen wir so viele Nullen in eine Spalte zu bekommen wie möglich. 
Für 1. können wir zum Beispiel die letzte Zeile von jede andere abziehen. Dann bekommen wir die Einheitmatrix, ausser die letzte Zeile und letzte Spalte. 
Dann subtrahieren wir von der letzten Zeile die erste Zeile multipliziert mit a₁ , die zweite Zeile multipliziert mit a₂ und so weiter, sodass alle Elemente der letzten Zeile Null werden ausser das ganz rechte.