die Folge $$ { \left( { a }_{ n } \right) }_{ n=1 }^{ \infty } $$ mit $$ { a }_{ n }=\frac { 1*3*5*...*(2n-1) }{ 2*4*6*...*(2n) } $$ n ∈ ℕ
Untersuche die Folge auf Konvergenz
Hallo
schreib es als einzelne Brüche
1/2 * 3/4 *5/6...
dann siehst du es schnell, alle Brüche sind kleiner als der letzte! verwende das zum Abschätzen
Hi
es gilt
\( a_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{2i - 1}{2i} > 0 \),
das heißt die Folge ist nach unten beschränkt. Außerdem ist
\( a_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{2(n+1)} a_n < a_n \),
das heißt die Folge ist (sogar streng) monoton fallend.
Daraus folgt entsprechend dem Monotoniekriterium, https://de.wikipedia.org/wiki/Monotoniekriterium#Kriterium , dass die Folge konvergent ist.
Mister
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