Eine Folge auf Konvergenz untersuchen

Question

die Folge $$ { \left( { a }_{ n } \right)  }_{ n=1 }^{ \infty  } $$ mit $$ { a }_{ n }=\frac { 1*3*5*...*(2n-1) }{ 2*4*6*...*(2n) } $$ n ∈ ℕ

Untersuche die Folge auf Konvergenz

Answer 1

Hallo

schreib es als einzelne Brüche

1/2 * 3/4 *5/6...

 dann siehst du es schnell, alle Brüche sind kleiner als der letzte! verwende das zum Abschätzen

Hi

Answer 2

es gilt

\( a_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{2i - 1}{2i} > 0 \),

das heißt die Folge ist nach unten beschränkt. Außerdem ist

\( a_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{2(n+1)} a_n < a_n \),

das heißt die Folge ist (sogar streng) monoton fallend.

Daraus folgt entsprechend dem Monotoniekriterium,  https://de.wikipedia.org/wiki/Monotoniekriterium#Kriterium , dass die Folge konvergent ist.

Mister