lim sup, lim inf und Häufungswerte einer Folge bestimmen

Question

Sei die Folge $$ { ({ a }_{ n }) }_{ n=1 }^{ \infty  } $$ gegeben durch

$$  { a }_{ n }=\begin{cases} 1+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \quad  & für\quad n\quad =\quad 3j \\ 2+\frac { n+1 }{ n }  & für\quad n\quad =\quad 3j+1 \\ 2 & für\quad n\quad =\quad 3j+2 \end{cases} $$

i) Bestimmte mit Beweis alle Häufungswerte von (a_n)

ii) Berechne lim sup_n→∞ a_n und lim inf_n→∞ a_n

Answer 1

Häufungswerte sind 1  und  3 und 2

und lin inf = 1  und lim sup = 3