Zerfallskonstante berechnen

Question

Ich habe Probleme, folgende Aufgabe in die Formel der Zerfallskonstante umzuwandeln.

Koffein wird im menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von ca. 4 Stunden abgebaut.

Die Koffeinmenge nach t Stunden kann durch die Funktion Nt=N0*a^-k*t dargestellt werden.

Berechnen Sie die Konstante k.

Ich weiß leider nicht mal, was N0 ist. 100?

Comments

Hoppala, ich meinte natürlich Nt=N0*e^k*t

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Ich habe Probleme, folgende Aufgabe in die Formel der Zerfallskonstante umzuwandeln.

Koffein wird im menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von ca. 4 Stunden abgebaut.
Die Koffeinmenge nach t Stunden kann durch die Funktion Nt=N0*a^-k*t dargestellt werden.
Berechnen Sie die Konstante k.
Ich weiß leider nicht mal, was N0 ist. 100?

Zerfall oder Wachstumsfomel mit e als Basis

N ( t ) = N0 * e^{-k*t}
N ( t ) : Bestand zum Zeitpunk t
N0 : Anfangsbestand zum Zeitpunkt  t = 0
k : Zerfallskonstante
t : der Zeitpunkt

Aussagen
N ( t ) / N0 = 1 / 2 : der Bestand N(t) ist nur noch die Hälfte de Anfangsbestands
t = 4 h
N ( 4 ) / N0 = e^{-k*4} = 1/2
e^{-k*4} = 1/2  | ln  ( )
-k * 4 = ln ( 1/2 )
k = 0.1733

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Habt ihr eventuell die richtige Schreibweise, wie ich das in CAS oder Geogebra eintippen könnte?

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Geobra kenne ich nicht.

CAS-Programme gibt es unterschiedliche die sicherlich alle ihre eigene
Eingabe haben. In aller Kürze braucht man nur eigeben

e^-k*4 = 1/2
oder
solve ( e^-k*4 = 1/2, k )

Sonst könnte man meine obige Antwort auch in eine *.jpg oder *.pdf
Datei umwandeln.

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Danke für die ausführlichen Antworten, mit CAS hat es funktioniert.

Nur mit dem Anfangswert N(0) habe ich noch Probleme,

welchen Wert soll ich bei folgenden Fragen nehmen?

a) Wie viel Prozent des Medikaments zerfällt pro Minute?
b) Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge sind nach 10 Minuten noch übrig?

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Die einfachste Berechnung für a.) wäre

N ( t ) = N0 * e^-0.1733*t
t in h
1 Min = 1 / 60 h
und N0 mit 100 anzunehmen

N ( 1/60 ) = 100 * e^{-0.1733*1/60}
N ( 1 / 60 ) = 100 * 0.9971
N ( 1 / 60 ) = 99.71

von 100 gr sind nach 1 Minute noch 99.71 gr vorhanden.
Dies entspricht einen Zerfall von 0.29 %

b.)
t in Minuten
0.9971 Zerfall pro Minute
0.9971^t
0.9971^10 = 0.9715
Nach 10 Minuten sind noch 97.15 % vorhanden.

Vergleich mit der zuerst entwickelten Formel
10 min = 1/6 Std
N ( 1/6 ) = 100 * e^{-0.1733*1/6}
N ( 1/6 ) = 100 * 0.9715
97.15 % . Die Ergebnisse stimmen überein.

Answer 1

Die Zerfallskonstante ist ganz einfach  k=ln(2)/T_1/2    T_1/2 ist die Halbwertszeit.

Comments

Weißt du zufällig die richtige Schreibweise, wie ich das in CAS / Geogebra eintippen könnte?

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Wie du das in den TR eibgibst? Na einfach ln(2)/4

Answer 2

Als N₀ kannst du nehmen, was du willst. Wichtig ist , dass nach 4 Stunden noch die Hälfte da ist, also 1/2 = a^4k