Bestimme die Zerfallskonstante vom radioaktivem Element

Question

Aufgabe:

Ein radioaktives Element hat die Halbwertszeit von \(\left(-\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)\) Jahren.

A) Bestimme die Zerfallskonstante Lambda, so dass die Menge zur Zeit t in Jahren durch Nt= N₀* e^lambda*t

B) Wie lange dauert es bis 75 % des Stoffes zerfallen sind? Bestimme außerdem den Zeitpunkt t zu dem N_t = 1/e * N₀

gilt.

Comments

Du hast eine negative Halbwertszeit angegeben:$$T_H=\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\ln(1)-\ln(\sqrt2)=-\ln(\sqrt2)<0$$

Das kann nicht richtig sein ;)

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Ja ich kann die Aufgabe nicht mehr bearbeiten, vor dem ln kommt ein minus

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Es gilt: ln(1/a) = ln(a^-1) = (-1)*lna

da lna^b = b*lna

Answer 1

Aloha :)

Betrachte zunächst den Zusammenhang zwischen Zerfallskonstante \(\lambda\), Zerfallsdauer \(T_k\) und dem Bruchteil \(k\) der noch aktiven Substanz:$$\underline{\underline{\frac{N_0}{k}=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot T_k}}}\implies\frac{N_0}{e^{\ln(k)}}=\frac{N_0}{e^{\lambda\cdot T_k}}\implies\underline{\underline{\ln(k)=\lambda\cdot T_k}}$$Damit ist die Aufgabe eigentlich gelöst.

zu a) Nach der Halbwertszeit \(T_2=-\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\ln(\sqrt2)=\ln(2^{\frac12})=\frac12\ln(2)\) ist noch die Hälfte \((k=2)\) der Substanz aktiv:$$\lambda=\frac{\ln(k)}{T_k}=\frac{\ln(2)}{T_2}=\frac{\ln(2)}{\frac12\ln(2)}=2$$

zu b) Die Zeit \(T_4\), nach der noch der 4-te Bruchteil \(k=4\) aktiv ist beträgt:$$T_4=\frac{\ln(4)}{\lambda}=\frac{\ln(2^2)}{2}=\frac{2\ln(2)}{2}=\ln(2)\approx0,69$$

zu c) Die Zeit \(T_e\), nach der noch der \(e\)-te Bruchteil \(k=e\) aktiv ist beträgt:$$T_e=\frac{\ln(e)}{\lambda}=\frac{1}{2}$$

Comments

Danke:) könntest du nicht einfach anstelle von mir meine Klausur schreiben ? :D

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Lol, das würde wohl auffallen, weil ich vermutlich etwas älter bin als du ;)

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Naja ich bin nicht in der Schule, sondern im Studium und da gibt's ja Leute von jedem Alter:).

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Lol, das würde wohl auffallen, weil ich vermutlich etwas älter bin als du ;)

Ein guter Maskenbildner kriegt das hin! :)
Probleme gibts, wenn der Lehrer deine perfekte Lösung sieht.
Die glaubt er keinem Schüler.

Answer 2

ln(1/√2) = ln 2^(-1/2) = -1/2*ln2 = -0.3466 Jahre

Da stimmt etwas nicht. Es gibt keine negativen Jahre.

Überprüfe die Angabe!

Comments

Ja vor dem ln kommt tatsächlich ein Minus, sorry

Answer 3

A) 1/2=e^{ln(1/√2)·λ}  löse nach λ auf.

Comments

Hast du die Angabe genau gelesen? Macht die Sinn?

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Ja, dann ist λ=2.

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Ja, dann ist λ=2.

Dann wäre Lambda eine Wachstumskonstante und keine Zerfallskonstante.

Es macht also keinen Sinn. Vermutung entweder ist die Original Aufgabenstellung schon fehlerhaft oder der Fragesteller hier hat beim Abschreiben der Aufgabe Fehler gemacht.

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Derm Begriff 'Wachstum' geht es wie dem Begiff 'Steigung': Selbst wenn ein Graph fällt, spricht man von seiner Steigung.

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Ja habe es falsch abgeschrieben, vielen Dank für die Antworten

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Du weißt aber schon, dass ein radioaktives Material zerfällt und die Masse des radioaktiven Stoffes im Laufe der Zeit abnimmt und nicht mehr wird?

Die Halbwertszeit sollte daher natürlich ein positiver Wert sein.

Answer 4

$$e^{k \cdot T_H} = 0.5 \newline k \cdot T_H = \ln(0.5) \newline k = \frac{\ln(0.5)}{T_H} \newline k = \frac{\ln(0.5)}{-\ln(1/\sqrt{2})} \newline k = \frac{-\ln(2)}{\ln(\sqrt{2})} \newline k = \frac{-\ln(2)}{0.5 \cdot \ln(2)} \newline k = \frac{-1}{0.5} \newline k = -2$$