Bestimme eine Stammfunktion von f (x) = sin4x + 2 sin2x

Question

Aufgabe:

a) Bestimme eine Stammfunktion von f (x) = sin4x + 2 sin2x

b) Verwende jetzt die sin4x + 2 sin2x = 8 cos³x sinx, um eine andere Stammfunktion von f(x) = sin4x + 2 sin2x zu finden.

c) Die Stammfunktionen aus a) und b) unterscheiden sich nur um eine Konstante c. Wie lautet der eindeutige Zahlenwert dieser Konstante c?

Problem/Ansatz:

Ich habe a) und b) erledigt. Allerdings weiß ich nicht wie man bei c) auf den eindeutigen Zahlenwert kommt. Für a) habe ich -\( \frac{cos(4x)}{4} \) - cos(2x) herausbekommen. Für b) habe ich -2(cos(x))⁴ herausbekommen.

Nun müsste man doch rechnen -\( \frac{cos(4x)}{4} \) - cos(2x) = -2(cos(x))⁴ + c oder? Aber wie bekomme ich dann für c eine Zahl heraus?

Ist die Konstante c nicht einfach 0? :)

Comments

Wenn du die Ableitung bildest, findest du schnell die Stammfkt.

Answer 1

Aloha :)

$$f_1(x)=\sin(4x)+2\sin(2x)\quad\implies\quad F_1(x)=-\frac14\cos(4x)-\cos(2x)+\text{const}$$$$f_2(x)=8\cos^3(x)\sin(x)\quad\implies\quad F_2(x)=-2\cos^4(x)+\text{const}$$

Aufgabenteil c) ist falsch gestellt. Es gibt nicht die Stammfunktion zu a) und b). Es gibt für a) und für b) jeweils unendlich viele Stammfunktionen. Vermutlich ist gemeint, dass in beiden Fällen die Integrationskonstante auf null gesetzt wird. Da die Differenz konstant sein soll, muss sie für alle \(x\)-Werte konstant sein, also insbesondere für \(x=0\):

$$c=F_1(x)-F_2(x)=F_1(0)-F_2(0)=\left(-\frac14-1\right)-(-2)=-\frac54+2=\frac34$$

Comments

Danke. Wäre aber c = 0 falsch?

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Das meinte ich mit meiner Bemerkung. Der Wert von \(c\) ist zwar konstant, hängt aber davon ab, welche Integrationskonstanten du bei \(F_1\) und bei \(F_2\) wählst. Wenn du beide Integrationskonstanten null setzt, ist \(c=\frac34\).

Wenn du die Integrationskonstante von \(F_1\) auf \(\left(-\frac34\right)\) setzt und die von \(F_2\) auf null, wäre \(c=0\).

Der Aufgabenteil (c) ist falsch gestellt, es fehlen die nötigen Informationen, damit die Differenz eindeutig ist.

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Achse danke habs verstanden :)

Answer 2

guter Ansatz:

\( -\frac{cos(4x)}{4}  - cos(2x) = -2(cos(x))^{4} + c \) 

Bedenke (Addtheorem) cos(2x)= 2 cos^2(x) - 1 ==>

\( -\frac{cos(4x)}{4}  - ( 2 cos^2(x) - 1 )= -2(cos(x))^{4} + c \)

\( -\frac{cos(4x)}{4}  - 2 cos^2(x) + 1 = -2(cos(x))^{4} + c \)

==> \( -cos(4x)  - 8 cos^2(x) + 4 = -8(cos(x))^{4} + 4c \)

==> \( cos(4x)   =  - 8 cos^2(x) + 4   +8(cos(x))^{4} - 4c \)

Und Addtheorem für cos(4x) ist 8cos^4(x)-8cos^2(x)+1 einsetzen

==> \(  8cos^4(x)-8cos^2(x)+1 =  - 8 cos^2(x) + 4  +8(cos(x))^{4} - 4c \)

==>  1 = 4 -4c ==>      -3 = -4c   ==>  3/4 = c

Answer 3

a) b)

F1(x) = - 0.25·COS(4·x) - COS(2·x)

F2(x) = - 2·COS(x)^4

c)

F1(0) - F2(0) = 0.75