cos^3(arcsin(x) mit welchem Zusammenhang herleiten?

Question

Aufgabe:

$$ \text { Berechnen Sie } \int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos (y)+\cos ^{3}(y)\right) d y . \text { Verwenden Sie } y=\varphi(x)=\arcsin (x) .  $$
Nach der Substitution kann der Integrand zu \( 2-x^{2} \) vereinfacht werden

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt herausgefunden, dass cos(arcsin(x)) -> Wurzel(1-x² ) ergibt.

Wie muss ich dies bei cos^3(arcsin(x) herleiten?

Evt. -> die 3. Wurzel von der Wurzel(1-x2 ).. Dies kommt mir aber irgendwie falsch vor.

Vielen Dank für die Hilfe. Evt. könnt ihr beim Ansatz helfen, den Rest probiere ich dann auszurechnen..

Answer 1

Hallo,

besser:

$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}(cos(y)+cos^3(y))dy=\int_{\pi/6}^{\pi/2}cos(y)(1+cos^2(y))dy=\int_{\pi/6}^{\pi/2}cos(y)(2-sin^2(y))dy$$

und jetzt kannst du $$sin(y)=x$$ substiuieren.

Comments

Krank, ist viel besser als meine Variante.

Ich verstehe aber nicht, wieso zB sin(arcsin(x)) = x ergibt. Hast du evt. ne gute Erklärung dazu?

Jetzt könnte ich doch einfach machen -> cos(arcsin(x) * (2-sin^2(arcsin(x))

-> Wurzel(1-x^2) * (2-x^2), oder?

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Ich verstehe aber nicht, wieso zB sin(arcsin(x)) = x ergibt.

Der Arcsin ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion, daher dieser Zusammenhang.

cos(arcsin(x) * (2-sin2(arcsin(x))

-> Wurzel(1-x2) * (2-x2)

Das geht auch, aber jetzt musst du bei der Substitution noch die Ableitung des arcsin(x) berücksichtigen, damit der Faktor wurzel(1-x^2) weggeht.

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Die Ableitung von arcsin ist ja 1/Wurzel(1-x^2). Ich sehe den Zusammenhang, aber ich weiss nicht, wie ich das einsetzen soll. Kann ich jetzt einfach (2-x2)  = arcsin(x) annehmen? Mach für mich keinen Sinn..

Ich sehe aber, dass bei der partiellen Integration würde ja dieses Wurzel(1-x^2) wegfallen.