Entscheide, welche Aussagen zur Funktion f Richtig ist mit f(x)=(x-2) ·(x^{2}+1) richtig sind?

Question

Aufgabe:

1. Entscheide, welche Aussagen zur Funktion \( f \) Richtig ist mit \( f(x)=(x-2) \cdot\left(x^{2}+1\right) \) richtig sind?
A: \( f \) hat die Nullstellen \( -1\), \(1\) und \(2\).
\( B: f \) hat als einzige Nullstelle \( x=2 \).
C: Für \( x \rightarrow-\infty \) gilt \( f(x) \rightarrow \infty \).
D: \( \mathrm{f} \) ist auch \( f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2 \).

Problem/Ansatz:

Ich glaube die Aussagen A und D sind richtig, während Aussage B und C falsch sind.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=(x-2)\cdot(x^2+1)$$

Der Term \((x^2+1)\) ist immer \(\ge1\), daher hat \(f(x)\) nur eine Nullstelle bei \(x=2\).

A ist falsch

B ist richtig

Für \((x\to-\infty)\) wächst der Faktor \((x^2+1)\) quadratisch gegen \((+\infty)\), während zugleich der Faktor \((x-2)\) nur linear gegen \((-\infty)\) wächst. Daher wächst auch die Funktion \(f(x)\) ins Unendliche.

C ist richtig

Wenn man die Klammern ausrechnet, kommt der Ausdruck in D raus.

D ist richtig.