Aloha :)
Die Umkehrfunktion bekommst du, indem du zuerst die Funktion etwas umformst:$$y=x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$$
Jetzt werden \(x\) und \(y\) vertauscht und die neue Gleichung nach \(y\) aufgelöst:
$$\left.y=(x+2)^2+1\quad\right|\text{\(x\) und \(y\) tauschen.}$$$$\left.x=(y+2)^2+1\quad\right|-1$$$$\left.x-1=(y+2)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{x-1}=y+2\quad\right|-2$$$$y=-2\pm\sqrt{x-1}$$
Jetzt erkennst du zwei "Probleme". Die Umkehrfunktion ist nur für \(x\ge1\) definiert. Das ist auch richtig so, weil die ursprüngliche Funktion ja immer \(\ge1\) ist.
Das andere Problem ist ernsthaft. Die Funktion ist nicht eindeutig umkehrbar, du musst dich entscheiden, ob du den linken oder den rechten Zweig der ursprünglichen Parabel umkehren möchtest.
~plot~ x^2+4x+5 ; -2+sqrt(x-1) ; -2-sqrt(x-1) ; x ~plot~
Die Steigung einer Funktion ermittelst du aus dem Vorzeichen der ersten Ableitung:$$y'(x)=2x+4$$Das ist positiv für \(x>-2\) und negativ für \(x<-2\). Daher steigt die Funktion für \(x>-2\) und fällt für \(x<-2\).
