Wie bilde ich in diesem Fall die Umkehrfunktion? f: N-> N, n-> n/2, falls n gerade und n -> 2n, falls n ungerade

Question

Also, ich habe leider die Uni in letzter Zeit ziemlich oft verpasst aufgrund einiger privater Angelegenheiten.  Ich habe folgende Aufgabe vor mir:

gegeben ist folgende Abbildung: f: N-> N, n-> {n/2, falls n gerade
                                                                          2n, falls n ungerade}

Die Abbildung ist an sich nicht so schwierig zu verstehen. So kann jede natürliche Zahl ohne Probleme abgebildet werden. Die Abbildung ist somit bijektiv, wenn ich das richtig verstanden habe, da ich für jedes Element der Menge, das ich auf ein anderes abbilden möchte, exakt ein Element habe, auf das es abgebildet wird. Daher ist es halt injektiv und surjektiv und dementsprechend bijektiv.

Nun habe ich noch folgende Informationen gegeben: U={n€N | n ungerade} und G={n€N | n gerade}.

Und nun soll ich zu den beiden Abbildungen f(U) und f(G) jeweils die Umkehrfunktion bilden.
Das Prinzip der Umkehrfunktion verstehe ich an sich, jedoch komme ich gerade ein wenig durcheinander.

U ist eine Menge bestehend aus allen ungeraden natürlichen Zahlen. Bei f(U) würde ich ja dann die Menge U auf die Zielmenge abbilden, richtig? Dementsprechend hatte ich folgenden Gedanken: f(U)=2U mit U={n€N | n ungerade. Nun wäre die Umkehrfunktion dazu f^{-1}(U)=U/2 - Und genau hier liegt das Problem, das ich nicht verstehe. Wenn f^{-1}(U)=U/2 ist mit U= alle ungeraden natürlichen Zahlen, dann liegt das Ergebnis von f^{-1} ja gar nicht mehr im Bereich N, da auch Dezimalzahlen auftreten würden in diesem Fall. Bei f(G) hätte ich dementsprechend dann für f^{-1}(G)=2G raus und dort hätte ich das Problem nicht.

Mein Gedanke ist, dass ich die beiden nun vertauscht habe und eventuell bei f(U) statt 2n einfach n/2 nehmen müsste, doch das ergibt für mich keinen Sinn, da f(U) ja angibt, dass ich U auf f(U) sozusagen abbilde und dementsprechen, da U ungerade ist, muss ich 2n nehmen. Da bin ich mir gerade sehr unsicher, da ich einfach beim Ergebnis auf keine natürliche Zahl komme oder ist das eventuell sogar okay? Oder bedeutet es, dass f(U) keine Umkehrfunktion hat? Kann sein, dass ich gerade was durcheinander bringe, aber ich komme einfach auf keine Lösung, die mir die Sicherheit gibt, dass es zu 100% richtig sei.

Answer 1

                                     f: ℕ → N  ,   n → { n/2, falls n gerade 
                                                                   2n,  falls n ungerade }

 f(4) = 2  und f(1) = 2 , verschiedene  Elemente von D_f  können also gleiche Funktionswerte haben

 →  f ist nicht injektiv und damit auch nicht umkehrbar  

Gruß Wolfgang

Comments

Das würde also bedeuten, dass die Umkehrfunktion der normalen Funktion entspricht und ich es genau falsch herum gemacht habe oder? Also müsste ich dann bei f(U) mit f(U)=n/2 beginnen?

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Sorry, habe es gerade korrigiert.

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Stimmt, das habe ich gar nicht bemerkt. Aber es geht ja darum, dass ich mir jeweils U und F einzeln anschaue. Dementsprechend sind f(U) und f(G) ja alleine umkehrbar

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Bzw. f(U) und f(G) sind als einzelne Funktionen injektiv, allerdings nicht surjektiv, kann man sie dann umkehren? Oder muss eine Bijketivität gegeben sein?

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f _U : U → G  ;  f(u) =  2u  ist injektiv, aber nicht surjektiv , denn  4 hat zum Beispiel kein Urbild in U

also gibt es auch hier keine Umkehrabbildung.

f _G : G → U  ;  f(g) = g/2   ist gar nicht definiert, weil nicht alle Funktionswerte in U liegen:

z.B   f(8) ∉ U 

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Das macht mich eher stutzig, da nach den Umkehrfunktionen von f(G) und f(U) in zwei unterschiedlichen Aufaben gefragt ist und das der Hauptteil der Aufgabe ist

Aber vielen vielen lieben Dank :)

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> da nach den Umkehrfunktionen von f(G) und f(U) ... gefragt ist.--------------------------------------------------Das macht wenig Sinn, denn f(U) und f(G) sind keine Funktionen sondern Mengen.
f(G) = ℕ 
 f_G : G → ℕ ; x ↦ x/2   ist  bijektiv
f ^-1_G : ℕ → G ; x ↦ 2x  

f(U) = {2, 6,10, 14,  ...  }  =  { 2 + 4k |  k∈ℕ₀ }  
f_U : U → f(U) , x ↦ 2x  ist  bijektiv 
f_U^-1: f(U) → U ;  x ↦ x/2 

Answer 2

f ist hier vermutlich erst mal als Abbildung aufzufassen. 

f(0) = 0

f(1) = 2

f(2)= 1

f(3) = 6

f(4) = 2

f(5) = 10

f(6) = 3

f(7) = 14

f(8) = 4

f(9) = 18

f(10) = 5

usw. 

f^{-1}(U) bedeutet nur die Urbildmenge von U, wobei U die Menge aller ungeraden Zahlen ist.

f^{-1}(G) ist dann die Urbildmenge von G, wobei G die Menge aller geraden Zahlen ist. 

Betrachte nochmals:

gegeben ist folgende Abbildung: f: N-> N, n-> {n/2, falls n gerade        | gibt alle natürlichen Zahlen
                                                                          2n, falls n ungerade}     | gibt alle geraden nat.Z.

f^{-1}(U) = Menge aller geraden nat. Zahlen, die nicht durch 4 teilbar sind und dann   f^{-1}(G) = Menge aller ungeraden nat. Zahlen oder nat. Zahlen, die durch 4 teilbar sind.  Versuche das mal nachzuvollziehen. Dann kannst du f^{-1}(G) und f^{-1}(G) nötigenfalls noch formal hinschreiben.