f(x):= x-1 falls x gerade und f(x):=x+1 falls x ungerade. Welche der Aussagen ist wahr?

Question

For all integers \( x \), the function \( f \) is defined as follows.

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x-1 & \text { if } x \text { is even } \\ x+1 & \text { if } x \text { is odd } \end{array}\right. \)

If \( a \) and \( b \) are integers and \( f(a)+f(b)=a+b \), which of the following statements must be true

A) \( a=b \)
B) \( a=-b \)
C) \( a+b \) is odd.
D) Both \( a \) and \( b \) are even.
E) Both \( a \) and \( b \) are odd.

Comments

even (2,4,6,8,10,…0,-2,…) und odd (…-3,-1,1,3,5,7…) verstehst du?

---

Natürlich verstehe ich was even und odd bedeuted.. trotzdem verstehe ich nicht wie man auf die lösung kommt

Answer 1

Hi,

wenn man f(a)+f(b)=a+b direkt anwendet, indem man davon ausgeht, dass a=even und b=odd ist, dann ergibt sich:

f(a)=a-1

f(b)=b+1

f(a)+f(b)=a-1+b+1=a+b

Also genau richtig vermutet. Da nun eine ungerade und eine gerade Zahl addiert immer ungerade sind, ist die Antwort c) "a+b is odd" korrekt.

Grüße

Comments

danke für die antwort. Im grunde verstehe ich alles, aber warum gehst du davon aus das a even und b odd ist? Also ich verstehe dass wenn man davon ausgeht, dass sich dann das ergibt was du weiter geschrieben hast mit f(a)= a-1 usw

Aber ich verstehe nicht, wo in der aufgabe ein hinweis gegeben wird, dass a even und b odd ist?

---

Das ist einfach ausprobieren. Es gibt ja nicht soviele Möglichkeiten

a und b -> odd

a oder b -> odd

weder a noch b -> odd


Alles was nicht odd ist, ist eben even.


"Zufällig" hatte ich direkt das richtige gewählt -> Variante c in Deiner Lösung, bzw. die zweite Variante in meinem Vorschlag.

---

Hm... aber wenn ich mir die aufgabe anschaue und es heißt "welche der aussagen MUSS wahr sein" heißt das für mich, egal welche variante ich wähle, es muss immer das eine ergebnis rauskommen. Und wenn ich zB davon ausgehe das wowohl a als auch b gerade sind, dann würde auch a + b gerade sein und dann stimmt die aussage ja nicht, dass in jedem Fall a + b ungerade ist ?

Also, deine lösung stimmt, aber ich wie ich geschrieben habe, ist die Aufgabe doch so gestellt, das in jedemfall die gewählte aussage zutreffen muss. und das wäre eben nicht der fall wenn a und b positive zahlen sind

---

Hmm?
Es steht doch da, dass genau eine Aussage richtig ist. Und die einzige Antwort die zutrifft ist die von Nummer c. Damit passt doch alles, oder nicht?!

---

Nein, die aussage C) trifft nur zu wenn einer von a und b odd und der andere even ist, aber sie trifft nicht mehr zu, wenn a und b even sind und da die aufgabe fordert, dass die aussage die man wählt wahr sein muss und sie dies aber in wirklichkeit nur unter bestimmten bedingungen ist ( nämlich das entweder a oder b even und der andere odd ist) passt das für mich nicht.

Bei anderen aufgaben wo die formulierung so war wie "which of the following statements MUST be true" war es immer so, dass die aussage die ich wähle IMMER zu treffen muss und nicht nur unter bestimmten bedingungen. außer natürlich zu der aufgabe gehören jene bestimmten bedingungen. Da aber diese aufgabe nicht vorschreibt das eine der beiden zahlen odd und die andere even sein muss, trifft die aussage C) eben nicht immer zu und ist doch somit auch nicht zwingend richtig, wie die aufgabe es fordert.

Verstehst du was ich meine?

---

Ich glaube Du vergisst eine Betrachtung, die ich oben schon erwähnt hatte ;).

Wenn es heißt a+b=odd muss entweder a oder b odd sein. Und aber nur einer von beiden!

Den ungerade+gerade=ungerade.

 

Damit der Verwirrung entgegengewirkt? :)

---

hm.. nicht so 100%ig ;)

auch wenn ich weiß, dass einer von beiden even und der andere odd sein muss, damit die aussage c richtig ist, wird dies doch an keiner stelle ausgesagt?

wenn da steht das a + b = odd sind, heißt dass doch nur dass die summe von a und b ungerade ist, aber nicht wie man darauf kommt ^^

Aber egal, ich schlaf nochmal eine nacht drüber und dann kommt vielleicht die erleuchtung ;) Danke für deine Mühe!

---

Also wie man darauf kommt, dass

a=even und b=odd

oder

a=odd und b=even

sein muss, kannst Du aus beiden Erstantworten entnehmen.


Dass das nun auf die Antwortmöglichkeit c) zugeschnitten ist, kannst Du aus meiner Erstantwort, bzw. aus dem Kommentar zuvor entnehmen?! ;)


Sollte es immer noch nicht klick gemacht haben, nimm Deine Idee wahr und schlafe erst mal eine Nacht drüber :P. Spätestens dann sollte es wie Schuppen von den Augen fallen :D.


Grüße

Answer 2

f(a) + f(b) = a + b = (a-1) + (b+1)        Heisst a gerade und b ungerade

oder

f(a) + f(b) = a + b = (a+1) + (b-1)          Heisst a ungerade und b gerade

Für beide Fälle gilt: a+b ungerade. Also: Aussage C ist richtig.