Eine Polynomfunktion f ∈ Pol(R) heißt gerade bzw. ungerade, falls f(−x) = f(x) bzw. f(−x) = −f(x) für alle x ∈ R

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion f ∈ Pol(R) heißt gerade bzw. ungerade, falls
f(−x) = f(x) bzw. f(−x) = −f(x) für alle x ∈ R  gilt.

Zeigen Sie:

(a) Durch
Pol_g(R) := {f ∈ Pol(R) | f ist gerade} und
Pol_u(R) := {f ∈ Pol(R) | f ist ungerade}
sind Untervektorräume von Pol(R) definiert.

(b) Es gilt Pol_g(R) ∩ Pol_u(R) = {0}.

c) Jede Polynomfunktion f ∈ Pol(R) lässt sich in eindeutiger Weise schreiben als
     f = f_g + f_u mit f_g ∈ Pol_g(R) und f_u ∈ Pol_u(R).

Tipp: Versuchen Sie f_g(x) := 1/2 (f(x) + f(−x)) und f_u(x) := 1/2 (f(x) − f(−x)).

Answer 1

zu a) :Verwende ein Unterraumkriterium, etwa

1.  Pol_g(R) enthält das 0-Polynom

2. ist abgeschlossen gegenüber +
  [denn wenn f(-x)=f(x) und g(-x)=g(x), dann auch (f+g)(-x)=(f+g)(x) ]

3. ist abgeschlossen gegenüber S-Multiplikation

 [ denn wenn f(-x)=f(x) und a∈R , dann auch (af)(-x)=(af)(x) ]

ungerade entsprechend.

b)  Wenn h ein Polynom aus dem Durchschnitt ist, dann gilt

h(-x)=h(x)  und h(-x)=-h(x) für alle x∈R, also h(x)=-h(x)

und damit h(x)=0 für alle x∈R.

c) Mit dem Tipp zeige für jedes Polynom f:     1/2 (f(x) + f(−x))∈Pol_g(R)

und 1/2 (f(x) − f(−x))∈Pol_u(R) und deren Summe ist gleich f.

Zur Eindeutigkeit am besten indirekt :

Seien h1 und h2 gerade und g1 und g2 ungerade mit

h1+g1=f und  h2+g2=f . Dann zeige, dass

g1-g2 und h1-h2  gleich sind und sowohl gerade als auch ungerade

sind, also das 0-Polynom sind, somit h1=h2 und g1=g2.