Beweis: für f(−x) = −f(x) ist Das Integral zwischen -a und a = 0

Question

Aufgabe:

Sei a > 0 und sei f : [−a, a] → R eine stetige
Funktion mit f(−x) = −f(x) fur alle ¨ x ∈ [−a, a] (d. h. f ist ungerade).

Zeigen sie:

\( \int\limits_{-a}^{a} \) f(x) dx = 0

Problem/Ansatz:

Kann ich nicht einfach sagen das wegen f(−x) = −f(x) (ungerade)
ist die Stammfunktion (gerade) F(-x) = F(x)  ⇔ 0 = F(x) - F(-x) gilt

und damit \( \int\limits_{-a}^{a} \) f(x) dx = F(a) - F(-a)= 0

Comments

"Kann ich nicht einfach sagen das wegen f(−x) = −f(x) (ungerade)
ist die Stammfunktion (gerade) F(-x) = F(x) ..."

Du musst dann aber begründen, warum eine Stammfunktion
einer ungeraden Funktion gerade ist.

Answer 1

Aloha :)

Zuerst teilst du das Integral in einen Anteile links und rechts der \(y\)-Achse auf:$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=\int\limits_{-a}^0f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx$$Jetzt nutzt du die Antisymmetrie aus und ersetzt im linken Integral \(f(x)\) durch \(-f(-x)\)$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=-\int\limits_{-a}^0f(-x)dx+\int\limits_0^af(x)dx$$Nun substituierst du im linken Integral:$$u(x)\coloneqq-x\quad;\quad\frac{dx}{du}=-1\,\Longleftrightarrow\,dx=-du\quad;\quad u(-a)=a\;;\;u(0)=0$$$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=-\int\limits_{a}^0f(u)(-du)+\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_{a}^0f(u)du+\int\limits_0^af(x)dx$$Nun vertauschst du im linken Integral die Integrationsgrenzen und änderst als Kompensation dafür das Vorzeichen des Integrals:$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=-\int\limits_{0}^af(u)du+\int\limits_0^af(x)dx=0$$

Answer 2

Hallo

gerade, dass F(x) gerade ist sollst du beweisen, Teile  das Integral von -a bis 0 und 0 bis a

dann benutze f(−x) = −f(x),

Gruß lul