unter 52 verschiedenen natürlichen Zahlen stets zwei Zahlen gibt, deren Summe oder Differenz durch 100 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es unter 52 verschiedenen natürlichen
Zahlen stets zwei Zahlen gibt, deren Summe oder Differenz durch 100 teilbar ist.
Gilt die Aussage auch für 51 Zahlen?

Problem/Ansatz:

(1000,900), (900,800), (800,700), (700,600), (600,500), (500,400), (300,200), (200,100) (100,0)

Bei diesen Tupeln würde es gehen. Sowohl die Summe, als auch die Differenz. Wie gehe ich aber hier vor, um zu erkennen, bzw. um auf die 52 verschiedenen Zahlen/Möglichkeiten zu kommen?

Answer 1

Hallo,

verfolge das gleiche Prinzip wie bei Deiner vorhergehenden Frage. Nur mit dem Unterschied dass man von den gegebenen 52 Zahlen nur den Modulo von 100 betrachtet. Wir denken uns 50 Zweier-Tupel dieser Form:$$(x_1 \equiv 1,\space x_{100} \equiv 99 \mod 100) \\(x_2 \equiv 2,\space x_{99} \equiv 98 \mod 100) \\ \quad\vdots \\ (x_{49} \equiv 49,\space x_{52} \equiv 51 \mod 100) \\(x_{50} \equiv 50,\space x_{51} \equiv 50 \mod 100) \\$$und noch einen, dann sind es 51$$(x_0 \equiv 0,\space x_{101} \equiv 0 \mod 100)$$Jede natürliche Zahl kannst Du eindeutig einem der Tupel zuweisen.

Und da es 52 Zahlen sind und nur 51 Schubfächer (Tupel) müssen in mindestens einem Schubfach zwei Zahlen liegen. Haben sie den gleichen Modulo zu 100, so ist ihre Differenz durch 100 teilbar. Ist der Rest nach der Division durch 100 unterschiedlich, so ist der Unterschied genau so groß, dass die Summe durch 100 teilbar ist.

Gruß Werner

Comments

Ich finde das logische Denken für diese Aufgaben zwar sehr schwer, aber naja...muss mich da irgendwie mit vertraut(er) machen. Danke dir.