Für zwei Zahlen a, b ist ihre Summe, ihre Differenz oder mindestens eine der beiden Zahlen selbst durch 3 teilbar.

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:
Für zwei beliebige Zahlen a, b ∈ Z ist ihre Summe, ihre Differenz oder mindestens eine der beiden Zahlen selbst durch 3 teilbar.

Hey!

Könnte mir jemand vielleicht mit der Aufgabe helfen? Ich brauche einen guten Lösungsweg. Ich komme irgendwie gar nicht klar.

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo

Fallunterscheidung: a lässt bei Division den Rest 0,1,2;  b genauso

 eine Rest 0 fertig

 a Rest 1, b Rest 1 Differenz Rest 0 also durch 3 tb. a Rest 1 b Rest 2, Summe Rest 3 also durch 3 tb. beide Rest 2  Differenz Rest 0.

Gruß lul

Comments

hat man damit dann alle Fälle bewiesen ?

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Findest du einen, der noch offen ist?

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Nein, habe mir den Beweis irgendwie schwieriger vorgestellt. Aber wenn es das war, dann ist es ja noch besser :)

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Ein Fall fehlt aber.

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Vielleicht, wenn eine der Zahlen selbst durch 3 Teilbar sind ? Wie mache ich das dann ?

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Also, wenn a z.B Rest 0 lässt, ist sie ja schon durch 3 teilbar und man ist fertig.

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Auch wenn es trivial ist: Es wurde nur

a Rest 1 b Rest 2,

genannt, ohne zu erwähnen. dass

"a Rest 2 b Rest 1"

auf gleiche Weise zum Ergebnis führt.

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Ach so, danke. daran habe ich nicht mehr gedacht.

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Du kannst Dir auch so einen Tabelle aufstellen$$\begin{array}{c|ccc}\mod 3& a \equiv 0 & a \equiv 1& a \equiv 2\\ \hline b \equiv 0& 3 \mid a& 3 \mid b& 3 \mid b\\ b \equiv 1& 3 \mid a& (a-b) \equiv 0& (a+b) \equiv 0\\ b \equiv 2& 3 \mid a& (a+b) \equiv 0& (a-b) \equiv 0\end{array}$$Der Modulo von 3 der beiden Zahlen \(a,b \in \mathbb{Z}\) kann nur 0, 1 oder 2 sein.

Da jedes Feld der Tabelle ausgefüllt ist, und damit jede Kombination erfasst ist, sind alle Fälle abgedeckt.

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Ja, aber das hatten wir noch nicht. Deine Erklärung fand ich eigentlich ganz gut, nur kann ich daraus keine Verallgemeinernde Regel finden ..

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Ja, aber das hatten wir noch nicht.

was hattet Ihr noch nicht? Den Rest bei der Division durch 3 berechnen?

Deine Erklärung fand ich eigentlich ganz gut ...

welche Erklärung meinst Du genau?

nur kann ich daraus keine Verallgemeinernde Regel finden ..

Ohne Fallunterscheidung wirst Du nicht auskommen. Das impliziert ja bereits die Aufgabenstellung.

Answer 2

a mod 3	b mod 3	(a+b) mod 3	(a-b) mod 3	Behauptung erfüllt
0	0			ja
0	1			ja
0	2			ja
1	0			ja
1	1
1	2
2	0			ja
2	1
2	2

Fülle die Tabelle aus. Dabei hilft

        (a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

und

        a - b = a + (-b).

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Dankeschön :)