Vereinigung von vier Mengen: Bestimmen der Anzahl natürlicher Zahlen n, die kleiner gleich 1000 sind und...

Question

Bestimmen Sie die Anzahl der natürlichen Zahlen n, die kleiner gleich 1000 sind und keine der folgenden Eigenschaften haben:

- n hat als Endziffer eine 5

- n ist zweistellig

- n ist eine Primzahl (Hinweis: Es gibt 168 Primzahlen, die kleiner gleich 1000 sind.)

- n ist durch 3 teilbar

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Bestimmen Sie die Anzahl der natürlichen Zahlen n, die kleiner gleich 1000 sind und keine der folgenden Eigenschaften haben: 

- n hat als Endziffer eine 5

- n ist zweistellig

- n ist eine Primzahl (Hinweis: Es gibt 168 Primzahlen, die kleiner gleich 1000 sind.)

- n ist durch 3 teilbar

??

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Diese Frage gab es gestern schon. War sie auch von dir?

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Nein, sie war nicht von mir! Die Antwort die dort gegeben wurde, hilft mir nicht. Brauche die konkreteren Rechenschritte :-)

Answer 1

Nach dem Prinzip der Inklusion und Exklusion ist |A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| - |B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|.

Berechne damit die Anzahl der Zahlen, die mindestens eine der Bedingungen erfüllt. Ziehe diese Zahl von 1000 ab.

Comments

Könntest du noch einmal kurz schildern, wie das mit dem berechnen funktioniert?

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• A sei die Menge aller natürlichen Zahlen unter 1000, die als Endziffer eine 5 haben.
  
• B sei die Menge aller natürlichen Zahlen unter 1000, die zweistellig sind.
  
• C sei die Menge aller natürlichen Zahlen unter 1000, die Primzahlen sind.
• D sei die Menge aller natürlichen Zahlen unter 1000, die durch 3 teilbar sind.

Bestimme |A|, |B|, |C| und |D|. Für alle diese Mengen gibt es effiziente Wege, deren Mächtigkeit zu bestimmen. Insbesondere die Bestimmung von |C| ist geradezu lächerlich einfach. Wo du das nicht schaffst, musst du es mit Fleiß kompensieren (d.h. die Zahlen explizit hinschreiben und dann zählen).

• A∩B ist die Menge aller natürlichen Zahlen unter 1000, die sowohl eine 5 als Endziffer haben, als auch zweistellig sind.
• A∩C ist die Menge aller natürlichen Zahlen unter 1000, die sowohl eine 5 als Endziffer haben, als auch Primzahlen sind.

und so weiter. Bestimme auch die Mächtigkeit dieser Mengen. Setze dann in obige Formel ein.