Definition aus der Vorlesung: Sei V ein n-dimesnionaer Vektorraum über K und sei <.,.> eine symmetrische Bilinearform. Das Radikal der Bilinearform ist
\( {V}^{⊥} = \{{v ∈ V | <v,V> = 0\}} \) \(= \{{v ∈ V | <v,w> = 0, ∀ w ∈ V \}} \)
Aufgabe:
<.,.> symmetrische Bilinearform auf dem \( {ℝ}^{4} \), \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 &1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) , B kanonische Basis des \( {ℝ}^{4} \)
(i) Ist <.,.> nicht ausgeartet ? Berechne das Radikal.
(ii) Bestimme eine Orthogonalbasis.
(iii) Bestimme eine Orthogonalbasis, sodass nur die Werte 1, -1 und 0 auf der Diagonalen auftreten.
Meine Ansätze:
(i) <.,.> ist nicht ausgeartet. Aber wie bestimme ich das Radikal ? Muss ich dazu meine Basis B benutzen ? Falls ja, dann ist das Radikal doch 0 ?!
(ii) Habe mich zuerst verlesen und Orthonormalbasis gelesen, aber Orthogonalbasis !?
(iii) Wie soll ich denn meine Basis (wenn ich sie denn gefunden habe) so drehen, dass ich bestimmte Einträge auf der Diagonalen habe ?
Danke schon mal für jeden Hilfe.
