Material einer Dose berechnen

Question

Folgende Problemstellung:

Ein zylindischer Behälter für 1000cm³ Schmierfett hat einen Mantel aud Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm³ viermal so teuer wie die Pappe. Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

Diese Aufgabe ist ja eine Extremwertaufgabe, also braucht man eine Zielfunktion: V=h*r²*π=1000cm³

aber wie kann ich diese 4mal so teuer mit einbauen?

Answer 1

v = pi·r^2·h --> h = v/(pi·r^2)

K = 4·(2·pi·r^2) + 1·(2·pi·r·h)

K = 4·(2·pi·r^2) + 1·(2·pi·r·v/(pi·r^2)) = 8·pi·r^2 + 2·v/r

K' = 16·pi·r - 2·v/r^2 = 0 --> r = (v/(8·pi))^{1/3}

h = v/(pi·r^2) = v/(pi·((v/(8·pi))^{1/3})^2) = (64/pi·v)^{1/3}

Damit ist die Höhe 4 mal so groß wie der Durchmesser.

Dies ist jetzt ganz allgemein gehalten. Du darfst das ganze nach diesem Beispiel genau mit deinen Werten durchrechnen.

Comments

Das K steht für die Pappe richtig?

---

Das K steht für die Gesamtkosten.

Du solltest darin auch die Formel der Grundfläche und des Mantels entdecken.

---

K = 4·(2·pi·r²) + 1·(2·pi·r·h)

Das erste ist die Formel für die Grundfläche. Aber da man ja 2 Grundflächen hat, muss man doch 8*(2·pi·r²) rechnen oder?

---

Ach nee, es steckt ja schon drin, dass es 2 Grundflächen sind